【题目】已知函数f(x)= +
.
(1)求f(x)≥f(4)的解集;
(2)设函数g(x)=k(x﹣3),k∈R,若f(x)>g(x)对任意的x∈R都成立,求k的取值范围.
【答案】
(1)解:∵函数f(x)= +
=
+
=|x﹣3|+|x+4|,
∴f(x)≥f(4)即|x﹣3|+|x+4|≥9.
∴① ,或②
,或③
.
得不等式①:x≤﹣5;
解②可得x无解;
解③求得:x≥4.
所以f(x)≥f(4)的解集为{x|x≤﹣5,或x≥4}
(2)解:f(x)>g(x)对任意的x∈R都成立,即f(x)的图象恒在g(x)图象的上方,
∵f(x)=|x﹣3|+|x+4|= .
由于函数g(x)=k(x﹣3)的图象为恒过定点P(3,0),且斜率k变化的一条直线,
作函数y=f(x)和 y=g(x)的图象如图,其中,KPB=2,A(﹣4,7),
∴KPA=﹣1.
由图可知,要使得f(x)的图象恒在g(x)图象的上方,
∴实数k的取值范围为(﹣1,2].
【解析】(1)函数f(x)=|x﹣3|+|x+4|,不等式 f(x)≥f(4)即|x﹣3|+|x+4|≥9.可得① ,或②
,或③
.分别求得①、②、③的解集,再取并集,即得所求.(2)由题意可得,f(x)的图象恒在g(x)图象的上方,作函数y=f(x)和 y=g(x)的图象如图,由KPB=2,A(﹣4,7),可得 KPA=﹣1,数形结合求得实数k的取值范围.
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【题目】如图,椭圆C1: =1(a>b>0)的离心率为
,x轴被曲线C2:y=x2﹣b截得的线段长等于C1的长半轴长.
(Ⅰ)求C1 , C2的方程;
(Ⅱ)设C2与y轴的交点为M,过坐标原点O的直线l与C2相交于点A、B,直线MA,MB分别与C1相交于D,E.
(i)证明:MD⊥ME;
(ii)记△MAB,△MDE的面积分别是S1 , S2 . 问:是否存在直线l,使得 =
?请说明理由.
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【题目】在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足(2c﹣a)cosB﹣bcosA=0.
(Ⅰ)求角B的大小;
(Ⅱ)求 sinA+sin(C﹣
)的取值范围.
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【题目】以平面直角坐标系的原点为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,两种坐标系中取相同的长度单位.已知曲线C1的参数方程为 ,(α为参数,且α∈[0,π]),曲线C2的极坐标方程为ρ=﹣2sinθ.
(Ⅰ)求C1的极坐标方程与C2的直角坐标方程;
(Ⅱ)若P是C1上任意一点,过点P的直线l交C2于点M,N,求|PM||PN|的取值范围.
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【题目】某公司计划明年用不超过6千万元的资金投资于本地养鱼场和远洋捕捞队.经过本地养鱼场年利润率的调研,得到如图所示年利润率的频率分布直方图.对远洋捕捞队的调研结果是:年利润率为60%的可能性为0.6,不赔不赚的可能性为0.2,亏损30%的可能性为0.2.假设该公司投资本地养鱼场的资金为x(x≥0)千万元,投资远洋捕捞队的资金为y(y≥0)千万元.
(1)利用调研数据估计明年远洋捕捞队的利润ξ的分布列和数学期望Eξ.
(2)为确保本地的鲜鱼供应,市政府要求该公司对本地养鱼场的投资不得低于远洋捕捞队的一半.适用调研数据,给出公司分配投资金额的建议,使得明年两个项目的利润之和最大.
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【题目】如图,在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中, ,点P为线段A1C上的动点(包含线段端点),则下列结论正确的 . ①当
时,D1P∥平面BDC1;
②当 时,A1C⊥平面D1AP;
③当∠APD1的最大值为90°;
④AP+PD1的最小值为 .
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【题目】在极坐标系中,圆C的方程为ρ=4cosθ,以极点为坐标原点,极轴为x轴的非负半轴建立平面直角坐标系,直线l经过点M(5,6),且斜率为 .
(1)求圆 C的平面直角坐标方程和直线l的参数方程;
(2)若直线l与圆C交于A,B两点,求|MA|+|MB|的值.
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【题目】已知椭圆C: 的左右焦点与其短轴的一个端点是正三角形的三个顶点,点D
在椭圆C上,直线l:y=kx+m与椭圆C相交于A、P两点,与x轴、y轴分别相交于点N和M,且PM=MN,点Q是点P关于x轴的对称点,QM的延长线交椭圆于点B,过点A、B分别作x轴的垂涎,垂足分别为A1、B1
(1)求椭圆C的方程;
(2)是否存在直线l,使得点N平分线段A1B1?若存在,求求出直线l的方程,若不存在,请说明理由.
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