Question

（2011•桂林模拟）正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，过两条棱的平面中，与直线AD₁成30°角的平面的个数是（　　）

A．8

B．6

C．4

D．2

Answer 1

分析：画出图形，首先分析正方体的六个面，然后分析六个对角面，利用线面角的概念找出直线AD₁与各对角面所成的角，在相应的直角三角形中求解线面角即可得到答案．

解答：解：如图，
正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，由正方体的性质知，AD₁与上下底面成45°角；
AD₁与前后面成45°角；AD₁在左侧面内，AD₁和右侧面平行；
AD₁与过A₁B₁和DC的平面垂直，AD₁在过AB与D₁C₁的平面内；
设AB₁∩A₁B=E，则AE⊥平面A₁BCD₁，连结D₁E，则∠AD₁E为AD₁与平面A₁BCD₁所成的角，
在Rt△AED₁中，由AD₁=2AE，得∠AD₁E=30°；
同理求得，AD₁与平面DBB₁D₁所成的角AD₁F=30°；
AD₁与平面ACC₁A₁所成的角D₁AH=30°；
AD₁与平面AB₁C₁D所成的角D₁AG=30°．
∴正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，过两条棱的平面中，与直线AD₁成30°角的平面是：
平面A₁BCD₁、平面DBB₁D₁、平面ACC₁A₁、平面AB₁C₁D共4个．
故选：C．

点评：本题考查了空间直线和平面所成的角，考查了学生的空间想象能力和思维能力，属中档题．