【题目】已知抛物线的焦点为
,点
与
关于坐标原点对称,直线
垂直于
轴,垂足为
,与抛物线交于不同的两点
,
,且
.
(1)求点的横坐标.
(2)若以,
为焦点的椭圆
过点
(ⅰ)求椭圆的标准方程;
(ⅱ)过点作直线
与椭圆
交于
,
两点,设
,若
,求
的取值范围.
【答案】(1)点的横坐标为
.(2)(ⅰ)
(ⅱ)
【解析】试题分析:(1)由对称性写出坐标,同时由对称性可设
,
,由数量积的坐标运算可解得T点坐标。(2)由(1)得
,待定系数及点
在椭圆上可求得椭圆方程。由
,得
,且
,结合韦达可求得
,把
通过坐标表示写成关于k的函数关系,即可求得范围。
试题解析:(1)由题意,得,
,
设,
,则
,
,
由
得,即
,①
又在抛物线上,则
,②
联立①②易得,则点
的横坐标为
.
(2)(ⅰ)设椭圆的半焦距为,由题意,得
设椭圆的标准方程为
(
),
则,③
,④
将④代入③,解得或
(舍去)
所以
故椭圆的标准方程为
.
(ⅱ)由题意分析知直线的斜率不为
,
设直线的方程为
将直线的方程代入
中,得
设,
,
,则由根与系数的关系,
可得,⑤
⑥
因为,所以
,且
.
将⑤式平方除以⑥式,
得
由
,所以
因为,
所以.
又,所以
故
令,因为
所以,即
,
所以
而,所以
所以
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【题目】设抛物线的顶点在坐标原点,焦点在
轴正半轴上,过点
的直线交抛物线于
两点,线段
的长是
,
的中点到
轴的距离是
.
(1)求抛物线的标准方程;
(2)过点作斜率为
的直线与抛物线交于
两点,直线
交抛物线于
,
①求证: 轴为
的角平分线;
②若交抛物线于
,且
,求
的值.
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【题目】如图,四棱锥P—ABCD中,ABCD为矩形,△PAD为等腰直角三角形,
∠APD=90°,面PAD⊥面ABCD,且AB=1,AD=2,E、F分别为PC和BD的中点.
(1)证明:EF∥面PAD;
(2)证明:面PDC⊥面PAD;
(3)求四棱锥P—ABCD的体积.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,椭圆C: =1(a>b>0)过点P(1,
).离心率为
.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设直线l与椭圆C交于A,B两点.
①若直线l过椭圆C的右焦点,记△ABP三条边所在直线的斜率的乘积为t.
求t的最大值;
②若直线l的斜率为,试探究OA2+ OB2是否为定值,若是定值,则求出此
定值;若不是定值,请说明理由.
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【题目】直角坐标系和极坐标系
的原点与极点重合,
轴正半轴与极轴重合,单位长度相同,在直角坐标系下,曲线C的参数方程为
为参数)。
(1)在极坐标系下,曲线C与射线和射线
分别交于A,B两点,求
的面积;
(2)在直角坐标系下,直线的参数方程为
(
为参数),求曲线C与直线
的交点坐标。
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【题目】某商场经销一批进价为每件30元的商品,在市场试销中发现,此商品的销售单价x(元)与日销售量y(件)之间有如下表所示的关系:
x | 30 | 40 | 45 | 50 |
y | 60 | 30 | 15 | 0 |
在所给的坐标图纸中,根据表中提供的数据,描出实数对(x,y)的对应点,并确定y与x的一个函数关系式;
(2)设经营此商品的日销售利润为P元,根据上述关系,写出P关于x的函数关系式,并指出销售单价x为多少元时,才能获得最大日销售利润?
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【题目】在直角坐标系中,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,点A的极坐标为(3, ),点B的极坐标为(6,
),曲线C:(x﹣1)2+y2=1
(1)求曲线C和直线AB的极坐标方程;
(2)过点O的射线l交曲线C于M点,交直线AB于N点,若|OM||ON|=2,求射线l所在直线的直角坐标方程.
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【题目】为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件,并测量其尺寸(单位: ).根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布
.
(1)假设生产状态正常,记表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在
之外的零件数,求
及
的数学期望;
(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.
(ⅰ)试说明上述监控生产过程方法的合理性;
(ⅱ)下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸:
9.95 | 10.12 | 9.96 | 9.96 | 10.01 | 9.92 | 9.98 | 10.04 |
10.26 | 9.91 | 10.13 | 10.02 | 9.22 | 10.04 | 10.05 | 9.95 |
经计算得,其中
为
抽取的第个零件的尺寸,
.
用样本平均数作为
的估计值
,用样本标准差
作为
的估计值
,利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查?剔除
之外的数据,用剩下的数据估计
和
(精确到0.01).
附:若随机变量服从正态分布
,则
,
.
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