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(2012•松江区三模)已知函数f(x)=x2+3x,数列{an}的前n项和为Sn,且对一切正整数n,点Pn(n,Sn)都在函数f(x)的图象上.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设A={x|x=an,n∈N*},B={x|x=2(an-1),n∈N*},等差数列{bn}的任一项bn∈A∩B,其中b1是A∩B中最的小数,且88<b8<93,求{bn}的通项公式;
(3)设数列{cn}满足cn=
nan-1
,是否存在正整数p,q(1<p<q),使得c1,cp,cq成等比数列?若存在,求出所有的p,q的值;若不存在,请说明理由.
分析:(1)利用点Pn(n,Sn)都在函数f(x)=x2+3x的图象上,可得Sn=n2+3n,再写一式,两式相减,即可求得数列{an}的通项公式;                                                 
(2)先确定A∩B=B,进而可得数列{bn}的公差是4 的倍数,利用b1是A∩B中最的小数,且88<b8<93,即可求{bn}的通项公式;
(3)利用c1,cp,cq成等比数列,建立方程,可求正整数p,q的值.
解答:解:(1)∵点Pn(n,Sn)都在函数f(x)=x2+3x的图象上,∴Sn=n2+3n
当n=1时,a1=S1=4;
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2+3n-(n-1)2-3(n-1)=2n+2
当n=1时,也满足.
故an=2n+2.                                                   
(2)∵A={x|x=an,n∈N*},B={x|x=2(an-1),n∈N*},
∴A={x|x=2n+2,n∈N*},B={x|x=4n+2,n∈N*}
∴A∩B=B,
又∵bn∈A∩B,∴bn∈B即数列{bn}的公差是4 的倍数
又A∩B中的最小数为6,∴b1=6,∴b8=4k+6,k∈N*
又∵88<b8<93
88<4k+6<93
k∈N*.
,解得k=21.                                  
等差数列{bn}的公差为d,由b8=6+7d=90得d=12,故bn=12n-6
(3)∵cn=
n
an-1
=
n
2n+1
,∴c1=
1
3
cp=
p
2p+1
cq=
q
2q+1

若c1,cp,cq成等比数列,则(
p
2p+1
)2=
1
3
(
q
2q+1
)
,即
p2
4p2+4p+1
=
q
6q+3
.    
可得
3
q
=
-2p2+4p+1
p2
,所以-2p2+4p+1>0,
从而1-
6
2
<p<1+
6
2

又p∈N*,∴p=2,此时q=12.
故当且仅当p=2,q=12,使得c1,cp,cq成等比数列.
点评:本题考查数列的通项,考查等比数列的性质,考查数列与函数的联系,考查学生分析解决问题的能力,正确确定数列的通项是关键.
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