Question

17、已知（1-2x）⁷=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₇x⁷，求
（Ⅰ）a₀+a₁+…+a₇的值
（Ⅱ）a₀+a₂+a₄+a₆及a₁+a₃+a₅+a₇的值；
（Ⅲ）各项二项式系数和．

Answer 1

分析：（Ⅰ）在（1-2x）⁷=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₇x⁷中，令x=1，能求出a₀+a₁+…+a₇的值．
（Ⅱ）在（1-2x）⁷=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₇x⁷中，令x=-1，得a₀-a₁+a₂-a₃+…+a₆-a₇=2187，令x=0，得a₀=1，由此能求出a₀+a₂+a₄+a₆及a₁+a₃+a₅+a₇的值．
（Ⅲ）各项二项式系数和C₇⁰+C₇¹+…+C₇⁷=2⁷=128．

解答：解：（Ⅰ）令x=1，则a₀+a₁+…+a₇=-1，（2分）
（Ⅱ）令x=-1，则a₀-a₁+a₂-a₃+…+a₆-a₇=2187，令x=0，则a₀=1，
于是a₁+a₂+a₃+…+a₇=-2，
a₁+a₃+a₅=-1094，；（5分）
a₀+a₂+a₄+a₆=1093．（8分）
（Ⅲ）各项二项式系数和C₇⁰+C₇¹+…+C₇⁷=2⁷=128．（12分）

点评：本题考查二项式系数的性质和应用，解题时要注意合理地选用公式．