Question

设函数f（x）=

x

ax+b

（a，b为常数，a≠0），若f（1）=

1

3

，且f（x）=x只有一个实数根．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若数列{a_n}满足关系式：a_n=f（a_n-1）（n∈N且n≥2），又a1=-

1

2005

，证明数列{

1

an

}是等差数列并求{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由f（1）=

1

3

，可得a+b=3，根据f（x）-x=0只有一个实数根，可得

1-b

a

=0，从而可求函数解析式；
（Ⅱ）由a_n=f（a_n-1）得：a_n=

an-1

2an-1+1

，从而可得

1

an

-

1

an-1

=2(n≥2)，由此可得{

1

an

}是首项为-2005，公差为2的等差数列，从而可求数列的通项．

解答：（Ⅰ）解：由f（1）=

1

3

，可得a+b=3，…①
又由f（x）-x=0得：x[ax-（1-b）]=0，
∵方程只有一个实数根，∴

1-b

a

=0  …②
由①②得：a=2，b=1，
则f（x）=

x

2x+1

（Ⅱ）证明：由a_n=f（a_n-1）得：a_n=

an-1

2an-1+1

∴

1

an

-

1

an-1

=2(n≥2)
∴{

1

an

}是首项为-2005，公差为2的等差数列，
∴

1

an

=-2005+2（n-1）=2n-2007
∴a_n=

1

2n-2007

点评：本题考查数列的通项，考查函数的解析式，考查等差数列的证明，确定函数的解析式是关键．