Question

如图，在三棱锥P-ABC中，PC⊥平面ABC，△ABC为正三角形，D、E、F分别是BC，PB，CA的中点．
（1）证明平面PBF⊥平面PAC；
（2）判断AE是否平行于平面PFD，并说明理由；
（3）若PC=AB=2，求三棱锥P-DEF的体积．

Answer 1

【答案】分析：（1）先根据PC⊥平面ABC，BF?平面ABC得到PC⊥BF；再结合BF⊥AC即可得到BF⊥平面PAC，进而证明结论；
（2）先假设AE∥平面PFD，借助于假设证得平面ABE∥平面PFD，与P∈平面PFD，P∈平面ABE相矛盾，即可说明结论；
（3）直接根据D，E，F分别为BC，PB，CA的中点，把所求体积进行转化；转化为V_P-BDF即可求出结论．
解答：解：（1）∵PC⊥平面ABC，BF?平面ABC．
∴PC⊥BF．由条件得BF⊥AC，PC∩AC=C．
∴BF⊥平面PAC，BF?平面PBF，
∴平面PBF⊥平面PAC．
（2）：AE不平行于平面PFD．
反证法：假设AE∥平面PFD，
∵AB∥FD，FD?平面PFD．
∴AB∥平面PFD．
∵AE∩AB=A，
∴平面ABE∥平面PFD．
∵P∈平面PFD，P∈平面ABE．矛盾．
则假设不成立，
所以：AE不平行于平面PFD
（3）∵D，E，F分别为BC，PB，CA的中点．
∴V_P-DEF=V_C-DEF=V_E-DFC=V_E-BDF
=V_P-BDF
=××S_△BDF•PC
=××S_△ABC•PC
=××××2×2××2
=．
点评：本题主要考查平面与平面垂直的判定以及棱锥体积的求法．棱锥体积的求法常用转化思想，变为易求的几何体的体积，考查计算能力．