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    已知F1，F2分别是椭圆
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    的左、右 焦点，已知点N(-
    a2
    c
    ，0)    满足
    F1F2
    =2
    NF1
    ，且|
    F1F2
    |=2    且设A，B上半椭圆上满足
    NA
    =λ
    NB
    的两点．
    （1）求此椭圆的方程；
    （2）若λ=
    1
    3
    ，求直线AB的斜率．
    分析：（1）由
    F1F2
    =2
    NF1
    ，|
    F1F2
    | =2    ，知
    2c=2
    2(
    a2
    c
    -c)=2c
    a2=b2-c2
    ，由此能求出椭圆方程．
    （2）由
    NA
    =λ
    NB
    ，知A，B，N三点共线，N（-2，0），设直线方程为y=k（x-2），k＞0，由
    y=k(x-2)
    x2
    2
    +y2=1
    ，得
    2k2+1
    k2
    y2+
    4y
    k
    +2=0    ，由△=(
    4
    k
    )    2    -8(
    2k2+1
    k2
    ) ＞0    （k＞0），解得0＜k＜
    		6
    2
    ．设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=
    4k
    2k2+1
    ，y1y2=
    2k2
    2k2+1
    ，由
    NA
    =
    1
    3
    NB
    ，知(x1-2，y1) =
    1
    3
    (x2-2，y2)    ，y1=
    1
    3
    y2    ，由此能求出k．
    解答：解：（1）由于
    F1F2
    =2
    NF1
    ，|
    F1F2
    | =2    ，
    ∴
    2c=2
    2(
    a2
    c
    -c)=2c
    a2=b2-c2
    ，解得
    a2=2
    b2=1
    ，
    ∴椭圆方程为
    x2
    2
    +y2=1    ．
    （2）∵
    NA
    =λ
    NB
    ，∴A，B，N三点共线，
    而N（-2，0），设直线方程为y=k（x+2），k＞0，
    由
    y=k(x-2)
    x2
    2
    +y2=1
    ，得
    2k2+1
    k2
    y2+
    4y
    k
    +2=0    ，
    由△=(
    4
    k
    )    2    -8(
    2k2+1
    k2
    ) ＞0    （k＞0），解得0＜k＜
    		6
    2
    ．
    设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=
    4k
    2k2+1
    ，y1y2=
    2k2
    2k2+1
    ，
    ∵λ=
    1
    3
    ，∴
    NA
    =
    1
    3
    NB
    ，
    ∴(x1-2，y1) =
    1
    3
    (x2-2，y2)    ，
    ∴y1=
    1
    3
    y2    ，
    ∴
    4
    3
    y2=
    4k
    2k2+1
    1
    3
    y22=
    2k2
    2k2+1
    ，消去y，得
    3k2
    (2k2+1)2
    =
    2k2
    2k2+1
    ，
    ∴k2=
    1
    4
    ，
    解得k=
    1
    2
    或k=-
    1
    2
    （舍）
    故k=
    1
    2
    ．
    点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2013•湖南）已知F1，F2分别是椭圆E：
    x25
    +y2=1    的左、右焦点F1，F2关于直线x+y-2=0的对称点是圆C的一条直径的两个端点．
    （Ⅰ）求圆C的方程；
    （Ⅱ）设过点F2的直线l被椭圆E和圆C所截得的弦长分别为a，b．当ab最大时，求直线l的方程．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2013•青岛二模）已知F1、F2分别是双曲线C：
    x2
    a2
    -
    y2
    b2
    =1    （a＞0，b＞0）的左、右焦点，P为双曲线右支上的一点，
    PF2
    ⊥
    F1F2
    ，且|
    PF1
    |=
    		2
    |
    PF2
    |    ，则双曲线的离心率为（　　）

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知F1，F2分别是双曲线
    x2
    a2
    -
    y2
    b2
    =1 (a＞0， b＞0)    的左、右焦点，过点F2与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M，若点M在以线段F1F2为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（　　）

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    如图，已知F1，F2分别是椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1（a＞b＞0）的左、右焦点，且椭圆C的离心率e=
    1
    2
    ，F1也是抛物线C1：y2=-4x的焦点．
    （Ⅰ）求椭圆C的方程；
    （Ⅱ）过点F2的直线l交椭圆C于D，E两点，且2
    DF2
    =
    F2E
    ，点E关于x轴的对称点为G，求直线GD的方程．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知F1，F2分别是双曲线
    x2
    a2
    -
    y2
    b2
    =1(a＞0，b＞0)    的左，右焦点，P是双曲线的上一点，若
    PF1
    •
    PF2
    =0    且|
    PF1
    |•|
    PF2
    |=3ab    ，则双曲线的离心率是
     
    ．

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