Question

9．将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A袋或B袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是$\frac{1}{2}$．
（1）求小球落入A袋中的概率P（A）；
（2）在容器入口处依次放入4个小球，记ξ为落入A袋中的小球个数，试求ξ的分布列和数学期望Eξ．

Answer 1

分析 （1）记“小球落入A袋中”为事件A，“小球落入B袋中”为事件B，则事件A的对立事件为B，而小球落入B袋中当且仅当小球一直向左落下或一直向右落下，由此利用对立事件概率计算公式能求出小球落入A袋中的概率．
（2）由题意知，ξ的可能取值为0，1，2，3，4，且随机变量ξ～B（4，$\frac{3}{4}$），由此能出ξ的分布列和Eξ．

解答 解：（1）记“小球落入A袋中”为事件A，“小球落入B袋中”为事件B，
则事件A的对立事件为B，
而小球落入B袋中当且仅当小球一直向左落下或一直向右落下，
故P（B）=（$\frac{1}{2}$）³+（$\frac{1}{2}$）³=$\frac{1}{4}$，
从而小球落入A袋中的概率P（A）=1-P（B）=1-$\frac{1}{4}$=$\frac{3}{4}$．
（2）由题意知，ξ的可能取值为0，1，2，3，4，且随机变量ξ～B（4，$\frac{3}{4}$），
故P（ξ=0）=（$\frac{1}{4}$）⁴=$\frac{1}{256}$，
P（ξ=1）=${C}_{4}^{1}（\frac{3}{4}）（\frac{1}{4}）^{3}$=$\frac{3}{64}$，
P（ξ=2）=${C}_{4}^{2}（\frac{3}{4}）^{2}（\frac{1}{4}）^{2}$=$\frac{27}{128}$，
P（ξ=3）=${C}_{4}^{3}（\frac{3}{4}）^{3}（\frac{1}{4}）$=$\frac{27}{64}$，
P（ξ=4）=（$\frac{3}{4}$）⁴=$\frac{81}{256}$，
∴ξ的分布列为：

ξ	0	1	2	3	4
P	$\frac{1}{256}$	$\frac{3}{64}$	$\frac{27}{128}$	$\frac{27}{64}$	$\frac{81}{256}$

∵ξ～B（4，$\frac{3}{4}$），∴Eξ=4×$\frac{3}{4}$=3．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意对立事件、二项分布的性质的合理运用．