Question

4．已知函数f（x）=x²+bx+2，g（x）=|x²-1|，x∈R．
（1）若函数f（x）满足f（x+3）=f（-x），求实数b的值；
（2）在（1）的条件下，求使不等式g（x）≤f（x）成立的x的取值集合；
（3）若函数h（x）=f（x）+g（x）+2在（0，2）上有两个不同的零点x₁，x₂，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据f（3+x）=f（-x），可得二次函数的对称轴为x=$\frac{3}{2}$，即可求得b的值；
（2）代入f（x），将g（x）分类讨论去掉绝对值，再分类讨论，根据不同的解析式列出不等式求解，即可得到答案；
（3）将h（x）的解析式表示出来，分b=0和b≠0分类研究，当b=0时，不合题意，当b≠0时，根据h（x）的单调性，确定ϕ（x）在（0，1）上至多一个零点，不妨设0＜x₁＜x₂＜2，对0＜x₁＜1，1≤x₂＜2时，及1≤x₁＜x₂＜2时分别进行求解，即可得到实数b的取值范围．

解答 解：（1）∵f（3+x）=f（-x）
∴函数f （x）的图象关于直线x=$\frac{3}{2}$对称，
∵f（x）=x²+bx+2，
∴-$\frac{b}{2}$=$\frac{3}{2}$，解得b=-3，
（2）f（x）=x²-3x+2，g（x）=|x²-1|=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-1，x≤-1或x≥1}\\{1-{x}^{2}，-1＜x＜1}\end{array}\right.$，
①当x≤-1，或x≥1时，
∵f（x）≥g（x），
∴x²-3x+2≥x²-1，解得x≤1，
∴此时x的范围为x≤-1，或x=1；
②当-1＜x＜1时，
∵f（x）≥g（x），
∴x²-3x+2≥1-x²，解得x≤$\frac{1}{2}$或x≥1，
∴此时x的范围为-1＜x≤$\frac{1}{2}$．
∴综合①②可得，使不等式f（x）≥g（x）成立的x的取值集合为{x|x≤$\frac{1}{2}$或x=1}．
（3）∵h（x）=f（x）+g（x）+2，且f（x）=x²+bx+2，g（x）$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-1，x≤-1或x≥1}\\{1-{x}^{2}，-1＜x＜1}\end{array}\right.$，
∴h（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2{x}^{2}+bx+3，x≤-1或x≥1}\\{bx+5，-1＜x＜1}\end{array}\right.$，
若b=0时，h（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2{x}^{2}+3，x≤-1或x≥1}\\{5，-1＜x＜1}\end{array}\right.$，显然h（x）＞0恒成立，不满足条件；
若b≠0时，函数ϕ（x）=bx+5在（0，1）上是单调函数，即ϕ（x）在（0，1）上至多一个零点，不妨设0＜x₁＜x₂＜2，
①当0＜x₁＜1，1≤x₂＜2时，则ϕ（0）ϕ（1）＜0，且h（1）h（2）≤0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b+5＜0}\\{（b+5）（2b+11）≤0}\end{array}\right.$，解得-$\frac{11}{2}$≤b＜-5；
经检验b=-$\frac{11}{2}$时，h（x）的零点为$\frac{10}{11}$，2（舍去），
∴-$\frac{11}{2}$＜b＜-5．
②当1≤x₁＜x₂＜2时，
∵ϕ（x）在（0，1）上至多一个零点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b+5≥0}\\{2b+11＞0}\\{-8＜b＜-4}\\{b＜-2\sqrt{6}或b＞2\sqrt{6}}\end{array}\right.$，解得-5≤b＜-2$\sqrt{6}$．
∴综上所述，b的取值范围为-$\frac{11}{2}$＜b＜-2$\sqrt{6}$．

点评 本题考查了二次函数的性质，对于二次函数要注意数形结合的应用，注意抓住二次函数的开口方向，对称轴，以及判别式的考虑．考查了函数的零点与方程根的关系．函数的零点等价于对应方程的根，等价于函数的图象与x轴交点的横坐标，解题时要注意根据题意合理的选择转化．属于中档题．