Question

（1）求将曲线y²=x绕原点逆时针旋转90°后所得的曲线方程．
（2）求圆心为C(3，

π

6

)，半径为3的圆的极坐标方程．

Answer 1

分析：（1）先求出旋转变换矩阵M，再推出任意一点在M的作用下后的点，代入已知曲线方程即可；
（2）先在所求圆上任取一点，寻找建立ρ与θ的等量关系，在直角三角形中求解即可．

解答：解：（1）由题意得旋转变换矩阵M=

cos90° -sin90° sin90° cos90°

=

0 -1 1 0

设P（x₀，y₀）为曲线y²=x上任意一点，变换后变为另一点（x，y），则

x y

=

0-1 10

x0 y0

，即

x=-y0 y=x0

所以

y0=-x x0=y

又因为点P在曲线y²=x上，所以y₀²=x₀，故（-x）²=y，
即x²=y为所求的曲线方程．
（2）设圆上任一点为P（ρ，θ），则OP=ρ，∠POA=θ-

π

6

，OA=2×3=6，Rt△OAP中，OP=OAcos∠POA，ρ=6cos(θ-

π

6

)，而点O(0，

2

3

π)，A(0，

π

6

)符合，
故所求圆的极坐标方程为ρ=6cos(θ-

π

6

)．

点评：本题主要考查了旋转变换，以及简单曲线的极坐标方程，属于基础题．