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    在△ABC中，已知a2+b2=2010c2，求证：
    2sinAsinBcosC
    sin2(A+B)
    为定值．
    考点：同角三角函数基本关系的运用
    专题：三角函数的求值
    分析：利用余弦定理表示出cosC，把已知等式代入求出
    c2
    ab
    =
    2cosC
    2009
    ，利用诱导公式及正弦定理化简得
    sinAsinB
    sin2(A+B)
    =
    2009
    2cosC
    ，原式变形后将各自的值代入计算即可得到结果为定值．
    解答： 证明：∵在△ABC中，a2+b2=2010c2，
    ∴cosC=
    a2+b2-c2
    2ab
    =
    2009c2
    2ab
    ，即
    c2
    ab
    =
    2cosC
    2009
    ，
    ∵sin（A+B）=sinC，
    ∴由正弦定理化简得：
    sinAsinB
    sin2(A+B)
    =
    sinAsinB
    sin2C
    =
    ab
    c2
    =
    2009
    2cosC
    ，
    则原式=2cosC•
    sinAsinB
    sin2(A+B)
    =2009．
    点评：此题考查了同角三角函数基本关系的运用，诱导公式的作用，余弦定理，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．
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