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已知函数y=x2+(2m+1)x+m2-1(m∈R).

(1)m为何值时,y的极小值是0?

(2)求证:不论m是什么数值,函数的图象(即抛物线)的顶点都在同一条直线l1上.

(3)平行于l1的直线中,哪些与抛物线相交,哪些不相交?求证:任一条平行于l1而与抛物线相交的直线,被各抛物线截出的线段都相等.

(1)解析:用配方法得

∴y的极小值为.

由-=0,得m=-,

即当m=-时,y的极小值是0.

(2)证明:函数图象抛物线的顶点坐标为

(-,-),

(x、y为顶点的两坐标).

两式相减得x-y=,此为各抛物线顶点坐标所满足的方程,它的图形是一条直线.方程中不含m,因此,不论m是什么数值,抛物线的顶点都在这条直线l1:x-y=上.

(3)证明:设l:x-y=a为任一条平行于l1的直线,由

消去y,得x2+2mx+m2-1+a=0,?

即(x+m)2=1-a.?

当1-a≥0,即a≤1时,直线l与抛物线相交,而1-a<0,即a>1时,直线l与抛物线不相交.

若a≤1,则x=-m±,

即x1=-m-,x2=-m+.

∴x2-x1=2.

直线l被抛物线截得的线段AB的长为|AB|=|x2-x1|=·2=

2与m无关.

因而直线l被各抛物线截得的线段都相等.

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