Question

19．设a＞b＞0，当a²+$\frac{4}{b（a-b）}$取得最小值时，函数f（x）=$\frac{a}{si{n}^{2}x}$+bsin²x的最小值为（　　）

• A． 3
• B． 2$\sqrt{2}$
• C． 5
• D． 4$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 根据基本不等求出a，b的值，再利用换元法，求出f（t）的最小值即可．

解答 解：a²+$\frac{4}{b（a-b）}$=a²+b²-ab+b（a-b）+$\frac{4}{b（a-b）}$≥2ab-ab+2$\sqrt{b（a-b）•\frac{4}{b（a-b）}}$=ab+4，
∴f（x）=$\frac{a}{si{n}^{2}x}$+bsin²x≥2$\sqrt{ab}$，
∵b（a-b）≤$\frac{（b+a-b）^{2}}{4}$=$\frac{{a}^{2}}{4}$，当且仅当a=2b时取等号，
∴a²+$\frac{4}{b（a-b）}$≥a²+$\frac{16}{{a}^{2}}$≥2$\sqrt{16}$=8，当且仅当a²=4时，即a=2时取等号，此时b=1，
∴f（x）=$\frac{a}{si{n}^{2}x}$+bsin²x=$\frac{2}{si{n}^{2}x}$+sin²x，
设sin²x=t，则t∈（0，1]，
∴y=$\frac{2}{t}$+t，
∴y=$\frac{2}{t}$+t在（0，1]上单调递减，
∴y_min=$\frac{2}{1}$+1=3，
故选：A．

点评 本题考查了基本不等式的应用和函数的单调性和最值的关系，属于中档题．