Question

某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元～1000万元的投资收益．现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y（单位：万元）随投资收益x（单位：万元）的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过投资收益的20%．
（Ⅰ）若建立函数模型制定奖励方案，试用数学语言表述公司对奖励函数模型的基本要求；
（Ⅱ）现有两个奖励函数模型：（1）y=

x

150

+2；（2）y=4lgx-3．试分析这两个函数模型是否符合公司要求？

Answer 1

分析：（Ⅰ）设奖励函数模型为y=f（x），根据“奖金y（单位：万元）随投资收益x（单位：万元）的增加而增加，说明在定义域上是增函数，且奖金不超过9万元，即f（x）≤9，同时奖金不超过投资收益的20%．即f(x)≤

x

5

．
（Ⅱ）根据（I）去判断，（1）对于函数模型f(x)=

x

150

+2，由一次函数的性质研究，是否满足第一，二两个条件，构造函数

f(x)

x

=

1

150

+

2

x

，由反比例函数性质研究是否满足第三个条件．
（2）对于函数模型f（x）=4lgx-3，由对数函数的性质研究
是否满足第一，二两个条件，再用作差法研究是否满足第三个条件即：4lgx-3-

x

5

＜0，即4lgx-3＜

x

5

，所以f(x)＜

x

5

恒成立．

解答：解：（Ⅰ）设奖励函数模型为y=f（x），则公司对函数模型的基本要求是：
当x∈[10，1000]时，①f（x）是增函数；②f（x）≤9恒成立；③f(x)≤

x

5

恒成立．（3分）
（Ⅱ）（1）对于函数模型f(x)=

x

150

+2：
当x∈[10，1000]时，f（x）是增函数，则f(x)max=f(1000)=

1000

150

+2=

20

3

+2＜9．
所以f（x）≤9恒成立．（5分）
因为函数

f(x)

x

=

1

150

+

2

x

在[10，1000]上是减函数，所以[

f(x)

x

]max=

1

150

+

1

5

＞

1

5

．
从而

f(x)

x

=

1

150

+

2

x

≤

1

5

，即f(x)≤

x

5

不恒成立．
故该函数模型不符合公司要求．（8分）

（2）对于函数模型f（x）=4lgx-3：
当x∈[10，1000]时，f（x）是增函数，则f（x）_max=f（1000）=4lg1000-3=9．
所以f（x）≤9恒成立．（10分）
设g（x）=4lgx-3-

x

5

，则g′(x)=

4lge

x

-

1

5

．
当x≥10时，g′(x)=

4lge

x

-

1

5

≤

2lge-1

5

=

lge2-1

5

＜0，
所以g（x）在[10，1000]上是减函数，从而g（x）≤g（10）=-1＜0．
所以4lgx-3-

x

5

＜0，即4lgx-3＜

x

5

，所以f(x)＜

x

5

恒成立．
故该函数模型符合公司要求．（13分）

点评：本题主要考查函数模型的选择，其实质是考查函数的基本性质，同时，确定函数关系实质就是将文字语言转化为数学符号语言--数学化，再用数学方法定量计算得出所要求的结果，关键是理解题意，将变量的实际意义符号化．