Question

某校举办学生综合素质大赛，对该校学生进行综合素质测试，学校对测试成绩（10分制）大于或等于7.5的学生颁发荣誉证书，现从A和B两班中各随机抽5名学生进行抽查，其成绩记录如下：

A	7	7	7.5	9	9.5
B	6	x	8.5	8.5	y

由于表格被污损，数据x，y看不清，统计人员只记得x＜y，且A和B两班被抽查的5名学生成绩的平均值相等，方差也相等．
（Ⅰ）若从B班被抽查的5名学生中任抽取2名学生，求被抽取2学生成绩都颁发了荣誉证书的概率；
（Ⅱ）从被抽查的10名任取3名，X表示抽取的学生中获得荣誉证书的人数，求X的期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,离散型随机变量及其分布列

专题：综合题,概率与统计

分析：（Ⅰ）分别求出A和B的平均数和方差，由

.

xA

=

.

xB

，得x+y=17，由SA2=SB2，得（x-8）²+（y-8）²=1，由x＜y，得x=8，y=9，记“2名学生都颁发了荣誉证书”为事件C，则事件C包含

C

2 4

=6个基本事件，共有

C

2 5

=10个基本事件，由此能求出2名学生颁发了荣誉证书的概率．
（Ⅱ）由题意知X所有可能的取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的期望．

解答： 解：（Ⅰ）∵

.

xA

=

1

5

（7+7+7.5+9+9.5）=8，

.

xB

=

1

5

（6+x+8.5+8.5+y），
∵

.

xA

=

.

xB

，∴x+y=17，①
∵SA2=

1

5

(1+1+0.25+1+2.25)=1.1，
SB2=

1

5

[4+(x-8)2+0.25+0.25+(y-8)2]，
∵SA2=SB2，得（x-8）²+（y-8）²=1，②
由①②解得

x=8 y=9

或

x=9 y=8

，
∵x＜y，∴x=8，y=9，
记“2名学生都颁发了荣誉证书”为事件C，则事件C包含

C

2 4

=6个基本事件，
共有

C

2 5

=10个基本事件，
∴P（C）=

6

10

=

3

5

，
即2名学生颁发了荣誉证书的概率为

3

5

．
（Ⅱ）由题意知X所有可能的取值为0，1，2，3，
P（X=0）=

1

C 3 10

=

1

120

，
P（X=1）=

C 1 7 C 2 3

C 3 10

=

21

120

，
P（X=2）=

C 2 7 C 1 3

C 3 10

=

63

120

，
P（X=3）=

C 3 7

C 3 10

=

35

120

，
EX=0×

1

120

+1×

21

120

+2×

63

120

+3×

35

120

=

21

10

．

点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的方差的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意平均值和方差的计算和应用．