Question

若函数f（x）=（x+a）（bx+2a）（常数a，b∈R）是偶函数，且它的值域为（-∞，4]，则该函数的解析式为（　　）

• A、f（x）=4x²
• B、f（x）=-4x²+2
• C、f（x）=-2x²+4
• D、f（x）=4x²或f（x）=-2x²+4

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：根据偶函数的定义式得到一个a，b的方程，再结合值域其最大值为4列出另一个方程，解之即可．

解答： 解：由已知f（x）=bx²+a（b+2）x+2a²．因为是偶函数，所以对称轴x=-

a(b+2)

2b

=0，所以b=-2或a=0．
若b=-2，则f（x）=-2x²+2a²，结合值域得2a²=4，所以a=±

2

．此时f（x）=-2x²+4．
若a=0，则f（x）=bx²．此时函数的值域：当b＞0时为（0，+∞）；当b＜0时，值域为（-∞，0）；当b=0时，值域为{0}．
显然不会满足值域为（-∞，4]．
故f（x）=-2x²+4．
故选C．

点评：本题考查了二次函数的奇偶性与单调性，要注意函数二次函数本身特殊性质的应用．