Question

12．已知椭圆C经过点（$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$）和点（$\sqrt{2}$，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$），互相垂直的两条射线OA，OB交椭圆C于A，B两点，其中A在第二象限内（如图所示），若D是椭圆的左顶点且BD∥OA．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）求$\frac{|OA|}{|BD|}$的值．

Answer 1

分析 （1）设椭圆方程为mx²+ny²=1，代入两点的坐标，解方程可得m，n，进而得到椭圆方程；
（2）设直线OA的方程为y=kx（k＜0），代入椭圆方程，求得A的坐标，将k换为-$\frac{1}{k}$，可得B的坐标，再由平行的条件：斜率相等，解方程可得k，进而得到A，B的坐标，由两点的距离公式计算即可得到所求值．

解答 解：（1）设椭圆方程为mx²+ny²=1，
代入点（$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$）和点（$\sqrt{2}$，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
可得3m+$\frac{1}{4}$n=1，2m+$\frac{1}{2}$n=1，
解方程可得m=$\frac{1}{4}$，n=1，
即有椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
（2）设直线OA的方程为y=kx（k＜0），
代入椭圆方程x²+4y²=4，可得x=-$\frac{2}{\sqrt{1+4{k}^{2}}}$，
即有A（-$\frac{2}{\sqrt{1+4{k}^{2}}}$，-$\frac{2k}{\sqrt{1+4{k}^{2}}}$），
将k换为-$\frac{1}{k}$，可得B（$\frac{2k}{\sqrt{4+{k}^{2}}}$，-$\frac{2}{\sqrt{4+{k}^{2}}}$），
又D（-2，0），
由BD∥OA，可得k_BD=k，即为$\frac{2}{-2\sqrt{4+{k}^{2}}-2k}$=k，
解得k=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
即有A（-$\frac{2}{\sqrt{3}}$，$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$），B（-$\frac{2}{3}$，-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$），
可得|OA|=$\sqrt{2}$，|BD|=$\sqrt{\frac{16}{9}+\frac{8}{9}}$=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，
即有$\frac{|OA|}{|BD|}$=$\sqrt{2}$×$\frac{3}{2\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用待定系数法，考查直线和椭圆的交点的求法，以及两直线平行的条件和直线的斜率公式的运用，考查运算能力，属于中档题．