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已知函数f(x)=(2-a)x-2lnx,(a∈R)
(I)若函数f(x)在x=1处取得极值,求实数a的值;
(Ⅱ)求函数f(x)的单调区间.

解:由题意知函数f(x)的定义域为(0,+∞)
(I)求导函数,可得f′(x)=2-a-,令f′(x)=0得2-a-=0,
∵函数f(x)在x=1处取得极值,∴f′(1)=2-a-2=0
∴a=0;
(II)由(I)得,x=可能为f(x)的极值点,
(1)当a=2时,f′(x)=-<0,f(x)的单调减区间为(0,+∞),
(2)当a>2时,f′(x)=2-a-在(0,+∞)上小于0,f(x)的单调减区间为(0,+∞),
(3)当a<2时,f′(x)=2-a-,当x>时,f′(x)>0,f(x)单调增,当x<时,f′(x)<0,f(x)单调减,
综上,当a≥2时,f(x)的单调减区间为(0,+∞),当a<2时,f(x)单调增区间(,+∞),f(x)单调减区间(0,).
分析:(I)由题意知函数f(x)的定义域为(0,+∞),求导函数,利用函数函数f(x)在x=1处取得极值,即f′(1)═0,可求a的值;
(II)由(I)得,x=可能为f(x)的极值点,下面对a的值进行分类讨论:(1)当a=2时(2)当a>2时(3)当a<2时,由导数的正负,即可得到函数f(x)的单调区间.
点评:本题考查导数知识的运用,考查函数的极值与单调性,正确求导是关键.
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π
4
)
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π
6
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1
x

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m
2
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1
f(n)
}
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A、
2011
2012
B、
2010
2011
C、
2009
2010
D、
2008
2009

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