Question

已知函数f（x）=（2-a）x-2lnx，（a∈R）
（I）若函数f（x）在x=1处取得极值，求实数a的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

解：由题意知函数f（x）的定义域为（0，+∞）
（I）求导函数，可得f′（x）=2-a-，令f′（x）=0得2-a-=0，
∵函数f（x）在x=1处取得极值，∴f′（1）=2-a-2=0
∴a=0；
（II）由（I）得，x=可能为f（x）的极值点，
（1）当a=2时，f′（x）=-＜0，f（x）的单调减区间为（0，+∞），
（2）当a＞2时，f′（x）=2-a-在（0，+∞）上小于0，f（x）的单调减区间为（0，+∞），
（3）当a＜2时，f′（x）=2-a-，当x＞时，f′（x）＞0，f（x）单调增，当x＜时，f′（x）＜0，f（x）单调减，
综上，当a≥2时，f（x）的单调减区间为（0，+∞），当a＜2时，f（x）单调增区间（，+∞），f（x）单调减区间（0，）．
分析：（I）由题意知函数f（x）的定义域为（0，+∞），求导函数，利用函数函数f（x）在x=1处取得极值，即f′（1）═0，可求a的值；
（II）由（I）得，x=可能为f（x）的极值点，下面对a的值进行分类讨论：（1）当a=2时（2）当a＞2时（3）当a＜2时，由导数的正负，即可得到函数f（x）的单调区间．
点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的极值与单调性，正确求导是关键．