Question

已知椭圆的对称轴为坐标轴，短轴的一个端点和两个焦点的连线构成一个正三角形，且焦点到椭圆上的点的最短距离为

3

，则椭圆的方程为（　　）

• A、

  x2

  12

  +

  y2

  9

  =1
• B、

  x2

  9

  +

  y2

  12

  =1或

  x2

  12

  +

  y2

  3

  =1
• C、

  x2

  12

  +

  y2

  3

  =1
• D、

  x2

  12

  +

  y2

  9

  =1或

  x2

  9

  +

  y2

  12

  =1

Answer 1

分析：根据题意，在正三角形中得到基本量a，b，c之间的关系，结合焦点到椭圆上的点的最短距离为a-c，故可求得基本量a，b的值，因为不能确定焦点的位置，故标准方程有两个．

解答：解：根据短轴的一个端点和两个焦点的连线构成一个正三角形，
则有b=

3

2

a，c=

1

2

a，
又∵焦点到椭圆上的点的最短距离为

3

，
∴a-c=

3

，
故a=2

3

，则b=3，
∴椭圆的方程为

x2

12

+

y2

9

=1或

x2

9

+

y2

12

=1．
故选：D．

点评：本题考查了椭圆的标准方程的求解．求椭圆标准方程要注意以下一个步骤：（1）先确定焦点的位置，确定标准方程的形式，（2）确定基本量a，b，c的值，（3）写出标准方程．解题时要注意根据题意能否确定焦点的位置，如果不能确定一般分类讨论．属于中档题．