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精英家教网如图,已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为3的正方体,点E在AA1上,点F在CC1上,且AE=FC1=1.
(1)求证:E,B,F,D1四点共面;
(2)若点G在BC上,BG=
23
,点M在BB1上,GM⊥BF,垂足为H,求证:EM⊥面BCC1B1
(3)用θ表示截面EBFD1和面BCC1B1所成锐二面角大小,求tanθ.
分析:(1)四点共面问题通常我们将它们变成两条直线,然后证明这两条直线平行或相交,根据公理3的推论2、3可知,它们共面.
(2)在正方体中,易知AB⊥面BCC1B1,所以欲证EM⊥面BCC1B1,可以先证AB∥EM;或者也可以从平面ABB1A1⊥平面BCC1B1入手去证明,那么我们一开始就需要算出BM的长度.
(3)由第二问的证明可知,利用三垂线定理,∠MHE就是截面EBFD1和面BCC1B1所成锐二面角的平面角.
解答:解:(1)证明:在DD1上取一点N使得DN=1,
连接CN,EN,显然四边形CFD1N是平行四边形,所以D1F∥CN,
同理四边形DNEA是平行四边形,所以EN∥AD,且EN=AD,又
BC∥AD,且AD=BC,所以EN∥BC,EN=BC,所以四边形CNEB是平行四边形,所以
CN∥BE,所以D1F∥BE,所以E,B,F,D1四点共面;

(2)因为GM⊥BF所以△BCF∽△MBG,
所以
MB
BC
=
BG
CF
,即
MB
3
=
2
3
2
,所以MB=1,因为AE=1,
所以四边形ABME是矩形,所以EM⊥BB1又平面ABB1A1⊥平面BCC1B1
,且EM在平面ABB1A1内,所以EM⊥面BCC1B1

(3)EM⊥面BCC1B1,所以EM⊥BF,EM⊥MH,GM⊥BF,
所以∠MHE就是截面EBFD1和面BCC1B1所成锐二面角的平面角,
∠EMH=90°,所以tanθ=
ME
MH
,ME=AB=3,△BCF∽△MHB,
所以3:MH=BF:1,BF=
22+32
=
13

所以MH=
3
13
,所以tanθ=
ME
MH
=
13
点评:(1)主要考查了平面的基本性质及推论.
(2)主要考查了直线和平面垂直的判定,方法主要是通过线与线垂直、面与面垂直进行转化.
(3)主要考查了三垂线定理的应用,三垂线定理是寻找二面角的平面角的很好的方法.
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2
15
2
15
(用分数表示结果).

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