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(08年滨州市质检三文) (14分)  如图,已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,长轴长是短轴长的2倍且经过点M(2,1),平行于OM的直线l在y轴上的截距为mm≠0),l交椭圆于AB两个不同点.

   (I)求椭圆的方程;

   (II)求m的取值范围;

   (III)求证直线MAMBx轴始终围成一个等腰三角形.

 

解析:(I)设椭圆方程为………………1分

    则………………3分

    ∴椭圆方程………………4分

   (II)∵直线l平行于OM,且在y轴上的截距为m

l的方程为:……………………………………………………5分

∵直线l与椭圆交于AB两个不同点,

    ∴m的取值范围是………………………………8分

   (III)设直线MAMB的斜率分别为k1k2,只需证明k1+k2=0即可…………9分

    设

    可得

    ……………………………………………………10分

    而

   

    ……………………………………13分

    ∴k1+k2=0

    故直线MAMBx轴始终围成一个等腰三角形.…………………………14分

 

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