Question

（08年滨州市质检三文） （14分）  如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M（2，1），平行于OM的直线l在y轴上的截距为m（m≠0），l交椭圆于A、B两个不同点.

   （I）求椭圆的方程；

   （II）求m的取值范围；

   （III）求证直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形.

 

Answer 1

解析：（I）设椭圆方程为………………1分

    则………………3分

    ∴椭圆方程………………4分

   （II）∵直线l平行于OM，且在y轴上的截距为m

又

∴l的方程为：……………………………………………………5分

由

∵直线l与椭圆交于A、B两个不同点，

    ∴m的取值范围是………………………………8分

   （III）设直线MA、MB的斜率分别为k₁，k₂，只需证明k₁+k₂=0即可…………9分

    设

    可得

    ……………………………………………………10分

    而

   

    ……………………………………13分

    ∴k₁+k₂=0

    故直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形.…………………………14分