Question

5．己知f（1+x）=f（1-x），且f（-x）+f（x）=0，当x∈[1，3]时，f（x）=-x+2：
（1）求x∈[-1，1]时，f（x）的解析式；（2）求证：x=-1为f（x）的一条对称轴；（3）求不等式f（x）≥$\frac{1}{2}$的解集．

Answer 1

分析 （1）根据条件判断函数的奇偶性和周期性，利用函数的奇偶性和周期性的关系进行求解．
（2）根据函数对称性的定义进行证明即可．
（3）根据函数的周期性，先求出函数在一个周期内的解集进行求解即可．

解答 解：f（-x）+f（x）=0得f（-x）=-f（x），则函数f（x）为奇函数，
∵f（1+x）=f（1-x）=-f（x-1），
∴f（x+2）=-f（x），
即f（x+4）=-f（x+2）=f（x），
则f（x）为周期是4的周期函数，
（1）若x∈[-1，1]，则x+2∈[1，3]，
则f（x）=-f（x+2）=-[-（x+2）+2]=-（-x-2+2）=x，
即x∈[-1，1]时，f（x）=x．
（2）∵f（-1+x）=-f（-1+x+2）=-f（x+1）=f（-1-x），
∴x=-1为f（x）的一条对称轴．
（3）∵函数在一个周期[-1，1]上的解析式f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x，}&{-1≤x≤1}\\{-x+2，}&{1＜x≤3}\end{array}\right.$，
∴当x∈[-1，1]时，由f（x）≥$\frac{1}{2}$得x≥$\frac{1}{2}$，此时$\frac{1}{2}$≤x≤1，
当x∈[1，3]时，由f（x）≥$\frac{1}{2}$得-x+2≥$\frac{1}{2}$，此时1≤x≤$\frac{3}{2}$，
此时$\frac{1}{2}$≤x≤$\frac{3}{2}$，
∵函数的周期是4，
∴不等式f（x）≥$\frac{1}{2}$的解集为[$\frac{1}{2}$+4k，$\frac{3}{2}$+4k]，k∈Z．

点评 本题主要考查抽象函数的应用，利用函数的奇偶性，周期性和对称性的性质进行转化是解决本题的关键．