Question

19．设f（x）=|lgx|，若函数g（x）=f（x）-ax在区间（0，4）上有三个零点，则实数a的取值范围是（　　）

• A． $（{\frac{lg2}{2}，\frac{lge}{e}}）$
• B． $（{0，\frac{1}{e}}）$
• C． $（{\frac{lg2}{2}，e}）$
• D． $（{0，\frac{lg2}{2}}）$

Answer 1

分析 转化函数的零点为方程的根，利用数形结合，推出3个零点满足的情况，利用函数的导数求出切线的斜率，推出结果即可．

解答 解：函数g（x）=f（x）-ax在区间（0，4）上有三个零点，
就是g（x）=f（x）-ax=0在区间（0，4）上有三个根，
也就是f（x）=ax的根有3个，
即两个函数y=f（x）与y=ax图象在区间（0，4）上的交点个数为3个．
如图示：

由题意以及函数的图象可知函数有3个零点，直线y=ax过A，与l之间时，满足题意．
A（4，lg4），k_OA=$\frac{lg2}{2}$．
设l与y=lgx的切点为（t，f（t）），
可得y′=$\frac{1}{xln10}$，切线的斜率为：$\frac{1}{tln10}$=$\frac{f（t）}{t}$=$\frac{lgt}{t}$，即lgt=lge，t=e．
可得切线l的斜率为：$\frac{lge}{e}$，
a∈（$\frac{lg2}{2}$，$\frac{lge}{e}$），
故选：A．

点评 本题考查函数的零点与方程的根的关系，考查数形结合转化思想的应用，是中档题．