Question

设函数f(x)=sinx-

x

2

的所有正的极大值点从小到大排成的数列为{x_n}
（1）求数列{x_n}的通项公式．
（2）设{x_n}的前n项和为S_n，求tanS_n．

Answer 1

分析：（1）对已知函数求导，然后令f′（x）=0，结合极值的定义可求x_n，
（2）由（1），结合等差数列的求和公式可求s_n，代入结合特殊角的正切函数值可求

解答：解：（1）对已知函数求导可得，f′(x)=cosx-

1

2

令cosx-

1

2

=0可得cosx=

1

2

∴x=2kπ±

1

3

π（k∈z）
由x_n是f（x）的第n个极大值点知，xn=2(n-1)π+

1

3

π
（2）由（1）可知，s_n=2π[1+2+…+(n-1)]+

1

3

nπ
=n(n-1)π+

1

3

nπ
∴tans_n=tan[n（n-1）π+

1

3

nπ]
=tan

1

3

nπ
当n=3m-2（m∈N^*）时，tans_n=tan

3m-2

3

π=

3

当n=3m-1（m∈N^*）时，tans_n=tan

3m-1

3

π=-

3

当n=3m（m∈N^*）时，tans_n=tan

3m

3

π=0
综上可得，

3 ，n=3m-2 - 3 ，n=3m-1 0，  n=3m

点评：本题以函数的导数的求解为载体主要考查了等差数列的求和公式，特殊角的三角函数值的求解等知识的综合应用