Question

已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁，底面边长AB=2，AB₁⊥BC₁，点O、O₁分别是边AC，A₁C₁的中点，建立如图所示的空间直角坐标系．
（1）求正三棱柱的侧棱长；
（2）若M为BC₁的中点，试用基向量、、表示向量；
（3）求异面直线AM与BC所成角．

Answer 1

解：（1）设侧棱长为b，则A（0，-1，0），B₁（，0，b），B（，0，0），C₁（0，1，b）
={，1，b}，={-，1，b} …3 分
∵AB₁⊥BC₁∴-3+1+b²=0，b=…（5分）
（2）∵M为BC₁的中点，
∴…（8分）
（3）设异面直线AM与BC所成角为α，，…（10分），∴α=90°…（12分）
分析：（1）利用坐标表示点，进而表示向量，借助于AB₁⊥BC₁，可建立方程，从而可求正三棱柱的侧棱长；
（2）利用M为BC₁的中点，可得，从而可解；
（3）先求的坐标，利用其数量积，可求异面直线AM与BC所成角．
点评：本题的考点是用空间向量求直线间的夹角与距离，主要考查用坐标表示向量，考查异面直线AM与BC所成角，关键是用坐标表示向量