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设函数,给出下列四个命题:

①当时,函数是单调函数

②当时,方程只有一个实根

③函数的图象关于点对称

④方程至多有3 个实根,其中正确命题的个数为

A.1个               B.2个             C.3个           D.4个

 

【答案】

D

【解析】

试题分析:因为f(x)=x|x|+bx+c=,对于①当x≥0时,f'(x)=2x+b≥0,所以y=f(x)递增,当x<0时,f'(x)>0,所以y=f(x)递增又y=f(0)=c连续.故当b≥0时,函数y=f(x)是单调函数; ①对.

对于②因为f(x)=当x≥0时无根,当x<0时,有一根x=-.故当b=0,c>0时,方程f(x)=0只有一个实根;②对.

对于③设g(x)=x|x|+bx,因为g(-x)=-x|-x|+b(-x)=-g(x),所以g(x)=x|x|+bx关于(0,0)对称,又函数y=f(x)的图象可以由g(x)=x|x|+bx的图象上下平移c个单位得到.故函数y=f(x)的图象关于点(0,c)对称;故③对.

对于④分各种情况来讨论b,c,并求出对应方程的根,就可说明④成立.故④对.

故选 D.

考点:本试题主要考查了对带绝对值的二次函数的综合考查.

点评:解决该试题的关键是通常带绝对值的函数研究其性质时,要去掉其绝对值符号进行. ①去掉其绝对值符号,判断出其在每一段内都单调且连续即可.

②把b=0,c>0代入,去掉其绝对值符号,解对应方程即可得结论.

③利用g(x)=x|x|+bx关于(0,0)对称,和g(x)=x|x|+bx与y=f(x)的关系可得结论.

④对于b,c分各种情况来讨论,并求出对应方程的根,可下结论

 

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 其中正确的命题是(  )

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(1)   当时,函数是单调函数;

(2)   当时,方程只有一个实根

(3)   函数的图像关于点对称;

(4)   方程至多有3个实根

其中正确命题的个数是(   )

A、1个                B、2个           C、3个            D、4个

 

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