Question

（2013•济南二模）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）是抛物线y²=2px（p＞0）上相异两点，Q、P到y轴的距离的积为4且

OP

•

OQ

=0．
（1）求该抛物线的标准方程．
（2）过Q的直线与抛物线的另一交点为R，与x轴交点为T，且Q为线段RT的中点，试求弦PR长度的最小值．

Answer 1

分析：（1）由

OP

•

OQ

=0，结合点P，Q在抛物线上，代入坐标后得到y₁y₂=-4p²，把纵坐标转化为横坐标后利用|x₁x₂|=4可求得p的值，则抛物线方程可求；
（2）连接PQ，PR分别叫x轴与点E，M，设出E和M的坐标，同时设出PQ，PR所在的直线方程，和抛物线方程联立后化为关于y的一元二次方程，利用根与系数的关系求出P，Q，R三点纵坐标的关系，再根据Q是T和R的中点找到E和M的坐标的关系，最终求出P和R纵坐标的乘积，用含有纵坐标的弦长公式写出弦PR长度，代入纵坐标的乘积后利用单调性求最小值．

解答：解：（1）∵

OP

•

OQ

=0，则x₁x₂+y₁y₂=0，
又P、Q在抛物线上，故y₁²=2px₁，y₂²=2px₂，
故得

y12

2p

•

y22

2p

+y₁y₂=0，∴y₁y₂=-4p²，
∴|x1x2|=

(y1y2)2

4p2

=4p2，
又|x₁x₂|=4，故得4p²=4，p=1．
所以抛物线的方程为y²=2x；
（2）如图，设直线PQ过点E（a，0）且方程为x=my+a
联立方程组

x=my+a y2=2x

，消去x得y²-2my-2a=0
∴

y1+y2=2m   y1y2=-2a

①
设直线PR与x轴交于点M（b，0），则可设直线PR方程为x=ny+b，并设R（x₃，y₃），
联立方程组

x=ny+b y2=2x

，消去x得y²-2ny-2b=0
∴

y1+y3=2n   y1y3=-2b

②
由①、②可得

y3

y2

=

b

a

由题意，Q为线段RT的中点，∴y₃=2y₂，∴b=2a．
又由（Ⅰ）知，y₁y₂=-4，代入①，可得
-2a=-4，∴a=2．故b=4．
∴y₁y₃=-8
∴|PR|=

1+n2

|y1-y3|=

1+n2

•

(y1+y3)2-4y1y3

=2

1+n2

•

n2+8

≥4

2

．
当n=0，即直线PQ垂直于x轴时|PR|取最小值4

2

．

点评：本题考查了抛物线的方程，考查了直线和圆锥曲线的关系，直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等．突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法．属难题．