Question

8．已知直线l：x-y-1=0，以原点O为极点，x轴非负半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ²-4ρsinθ=5．
（Ⅰ）将直线l写成参数方程$\left\{{\begin{array}{l}{x=1+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}}\right.$（t为参数，α∈[0，π））的形式，并求曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）设直线l与曲线C交于点A，B（点A在第一象限）两点，若点M的直角坐标为（1，0），求△OMA的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由直线l：x-y-1=0的倾斜角为$\frac{π}{4}$，能将直线l写成参数方程，由ρ²=x²+y²，ρsinθ=y，能求出曲线C的直角坐标方程．
（Ⅱ）将直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得t²-$\sqrt{2}t$-4=0，求出点A纵坐标y_A=2，由此能求出△OMA的面积

解答 解：（Ⅰ）∵直线l：x-y-1=0的倾斜角为$\frac{π}{4}$，
∴将直线l写成参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcos\frac{π}{4}}\\{y=tsin\frac{π}{4}}\end{array}\right.$，
∵曲线C的极坐标方程为ρ²-4ρsinθ=5，
∴x²+y²-4y=5，即x²+（y-2）²=9．
∴曲线C的直角坐标方程为x²+（y-2）²=9．
（Ⅱ）将直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，
得t²-$\sqrt{2}t$-4=0，
设t₁，t₂是方程的两根，
解得${t}_{1}=2\sqrt{2}$，${t}_{2}=-\sqrt{2}$，
又点A在第一象限，故点A对应${t}_{1}=2\sqrt{2}$，
代入到y=tsin$\frac{π}{4}$，得到点A纵坐标y_A=2，
因此△OMA的面积S_△OMA=$\frac{1}{2}$|OM|•|y_A|=$\frac{1}{2}×1×2$=1．

点评 本题考查直线的参数方程和曲线的直角坐标方程的求法，考查三角形面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意极坐标与直角坐标互化公式的合理运用．