Question

2．已知函数f（x）=$\sqrt{3}$sinxcosx+cos²x，x∈R．
（Ⅰ）把函数f（x）的图象向右平移$\frac{π}{6}$个单位，得到函数g（x）的图象，求g（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C对应的三边分别为a，b，c，b=$\sqrt{37}$，f（$\frac{B}{2}$）=1，S_△ABC=3$\sqrt{3}$，求a和c的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由三角函数恒等变换的应用化简可得f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$．利用平移变换可得g（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$．由x∈[0，$\frac{π}{2}$]，可得2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，利用正弦函数的图象和性质即可得解．
（Ⅱ）由f（$\frac{B}{2}$）=1，可得sin（B+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，结合范围0＜B＜π可求B=$\frac{2π}{3}$，由S_△ABC=3$\sqrt{3}$，可解得：ac=12．又由余弦定理可得：a²+c²=25．联立方程即可解得a，c的值．

解答 （本题满分为12分）
解：由已知可得：f（x）=$\sqrt{3}$sinxcosx+cos²x=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{1}{2}$=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$．
（Ⅰ）把函数f（x）的图象向右平移$\frac{π}{6}$个单位，可得g（x）=sin[2（x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{π}{6}$]+$\frac{1}{2}$=sin（2x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$．
∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，∴2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，
∴当2x-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$时，即x=$\frac{π}{3}$，g（x）取得最大值$\frac{3}{2}$…6分
（Ⅱ）∵f（$\frac{B}{2}$）=1，
∴f（$\frac{B}{2}$）=sin（B+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$=1，sin（B+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，
∵0＜B＜π，$\frac{π}{6}$＜B+$\frac{π}{6}$＜$\frac{7π}{6}$，
∴B+$\frac{π}{6}$=$\frac{5π}{6}$，B=$\frac{2π}{3}$，
∵S_△ABC=3$\sqrt{3}$，
∴$\frac{1}{2}acsin\frac{2π}{3}$=3$\sqrt{3}$，解得：ac=12．①
又由余弦定理可得：b²=37=a²+c²-2accos$\frac{2π}{3}$，可得：a²+c²=25．②
由①②解得：a=4，c=3，或a=3，c=4…12分

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题．