Question

已知数列{a_n}的通项公式为a_n=

1

(n+1) n +n n+1

（n∈N^*），其前n项和为S_n，则在数列S₁、S₂、…S₂₀₁₄中，有理数项的项数为（　　）

Answer 1

分析：对a_n变形后利用裂项相消法求得S_n，通过解不等式可得答案．

解答：解：∵a_n=

1

(n+1) n +n n+1

=

1

n(n+1) ( n + n+1 )

=

n+1 - n

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴Sn=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

，
令

n+1

=t（t≥2，t∈N₊），则n=t²-1，
由n≤2104，得t²-1≤2014，解得2≤t≤44，t∈N₊，
∴t的个数为43，即S₁、S₂、…S₂₀₁₄中，有理数项的项数为43，
故选B．

点评：本题考查数列求和、解不等式等知识，考查学生综合运用所学知识解决问题的能力，裂项相消法对数列求和是高考考查的重点内容，要熟练掌握．