【题目】设,是抛物线上的两个不同的点,是坐标原点.若直线与的斜率之积为,则( ).
A.B.以为直径的圆的面积大于
C.直线过定点D.点到直线的距离不大于2
【答案】CD
【解析】
通过轴时的特殊情况,判断A、B选项不正确;当直线与轴不垂直时,设直线方程,通过推理论证,得出直线过定点,进而得出点到直线的距离最大值即为O、Q两点间的距离,进而得出CD正确.
不妨设为第一象限内的点,
①当直线轴时,,由,
得,,
所以直线,的方程分别为:和.
与抛物线方程联立,得,,
所以直线的方程为,此时,
以为直径的圆的面积,故A、B不正确.
②当直线与轴不垂直时,设直线的方程为,
与抛物线方程联立消去,得,则.
设,,则.
因为,所以,
则,则,
所以,即,
所以直线的方程为,即.
综上可知,直线为恒过定点的动直线,故C正确;
易知当时,原点到直线的距离最大,最大距离为2,
即原点到直线的距离不大于2.故D正确.
故选:CD
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【题目】古希腊数学家阿波罗尼奥斯发现:平面上到两定点,距离之比为常数且的点的轨迹是一个圆心在直线上的圆,该圆简称为阿氏圆.根据以上信息,解决下面的问题:如图,在长方体中,,点在棱上,,动点满足.若点在平面内运动,则点所形成的阿氏圆的半径为________;若点在长方体内部运动,为棱的中点,为的中点,则三棱锥的体积的最小值为___________.
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【题目】如图所示,已知焦点为的抛物线上有一动点,过点作抛物线的切线交轴于点.
(1)判断线段的中垂线是否过定点,若是求出定点坐标,若不是说明理由;
(2)过点作的垂线交抛物线于另一点,求面积的最小值.
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【题目】如图,在矩形中,为边的中点,将沿直线翻转成(平面).若分别为线段的中点,则在翻转过程中,下列说法正确的是( )
A.与平面垂直的直线必与直线垂直
B.异面直线与所成的角是定值
C.一定存在某个位置,使
D.三棱锥外接球半径与棱的长之比为定值
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【题目】台球运动已有五、六百年的历史,参与者用球杆在台上击球.若和光线一样,台球在球台上碰到障碍物后也遵从反射定律如图,有一张长方形球台ABCD,,现从角落A沿角的方向把球打出去,球经2次碰撞球台内沿后进入角落C的球袋中,则的值为( )
A.B.C.1D.
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【题目】农历五月初五是端午节,民间有吃粽子的习惯,粽子又称粽粒,古称角黍,是端午节大家都会品尝的食品.如图,平行四边形形状的纸片是由六个边长为2的正三角形构成的,将它沿虚线折起来,可以得到如图所示粽子形状的六面体,则该六面体的体积为_________;若该六面体内有一球,当该球体积最大时,球的表面积是__________.
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【题目】已知矩形和菱形所在平面互相垂直,如图,其中, , ,点为线段的中点.
(Ⅰ)试问在线段上是否存在点,使得直线平面?若存在,请证明平面,并求出的值,若不存在,请说明理由;
(Ⅱ)求二面角的正弦值.
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