Question

【题目】某市为了鼓励市民节约用电，实行“阶梯式”电价，将该市每户居民的月用电量划分为三档，月用电量不超过200度的部分按0.5元/度收费，超过200度但不超过400度的部分按0.8元/度收费，超过400度的部分按1.0元/度收费．
（1）求某户居民用电费用y（单位：元）关于月用电量x（单位：度）的函数解析式；
（2）为了了解居民的用电情况，通过抽样，获得了今年1月份100户居民每户的用电量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方图，若这100户居民中，今年1月份用电费用不超过260元的点80%，求a，b的值；
（3）在满足（2）的条件下，若以这100户居民用电量的频率代替该月全市居民用户用电量的概率，且同组中的数据用该组区间的中点值代替，记Y为该居民用户1月份的用电费用，求Y的分布列和数学期望．

Answer 1

【答案】
（1）解：当0≤x≤200时，y=0.5x；

当200＜x≤400时，y=0.5×200+0.8×（x﹣200）=0.8x﹣60，

当x＞400时，y=0.5×200+0.8×200+1.0×（x﹣400）=x﹣140，

所以y与x之间的函数解析式为：y=

（2）解：由（1）可知：当y=260时，x=400，则P（x≤400）=0.80，

结合频率分布直方图可知：0.1+2×100b+0.3=0.8，100a+0.05=0.2，

∴a=0.0015，b=0.0020

（3）解：由题意可知X可取50，150，250，350，450，550．

当x=50时，y=0.5×50=25，∴P（y=25）=0.1，

当x=150时，y=0.5×150=75，∴P（y=75）=0.2，

当x=250时，y=0.5×200+0.8×50=140，∴P（y=140）=0.3，

当x=350时，y=0.5×200+0.8×150=220，∴P（y=220）=0.2，

当x=450时，y=0.5×200+0.8×200+1.0×50=310，∴P（y=310）=0.15，

当x=550时，y=0.5×200×0.8×200+1.0×150=410，∴P（y=410）=0.05．

故Y的概率分布列为：

Y	25	75	140	220	310	410
P	0.1	0.2	0.3	0.2	0.15	0.05

所以随机变量Y的数学期望

EY=25×0.1+75×0.2+140×0.3+220×0.2+310×0.15+410×0.05=170.5

【解析】（1）利用分段函数的性质即可得出．（2）利用（1），结合频率分布直方图的性质即可得出．（3）由题意可知X可取50，150，250，350，450，550．结合频率分布直方图的性质即可得出．
【考点精析】解答此题的关键在于理解频率分布直方图的相关知识，掌握频率分布表和频率分布直方图，是对相同数据的两种不同表达方式.用紧凑的表格改变数据的排列方式和构成形式，可展示数据的分布情况.通过作图既可以从数据中提取信息，又可以利用图形传递信息，以及对离散型随机变量及其分布列的理解，了解在射击、产品检验等例子中，对于随机变量X可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．离散型随机变量的分布列：一般的,设离散型随机变量X可能取的值为x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一个值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，则称表为离散型随机变量X 的概率分布，简称分布列．