Question

已知函数f（x）=4x³-3x²cosθ+

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，其中x∈R，θ为参数，且0≤θ≤2π．
①当cosθ=0时，判断函数f（x）是否有极值；
②要使函数f（x）的极小值小于零，求参数θ的取值范围；
③若对②中所求的取值范围内的任意参数θ，函数f（x）在区间（2a-1，a）内都是增函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：①先求函数的导数，f′（x）＞0在（-∞，+∞）上恒成立，得到函数的单调性，从而可判定是否有极值．
②先求出极值点，f′（x）=0的点附近的导数的符号的变化情况，来确定极值，求出极小值，使函数f（x）的极小值小于零建立不等关系，求出参数θ的取值范围即可．
③由②知，函数f（x）在区间（-∞，0）与 (

cosθ

2

，+∞)内都是增函数，只需（2a-1，a）是区间（-∞，0）与 (

cosθ

2

，+∞)的子集即可．

解答：解：①当cosθ=0时 f(x)=4x3+

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，则f（x）在（-∞，+∞）内是增函数，
故无极值．
②f'（x）=12x²-6xcosθ，令f'（x）=0，
得 x1=0，x2=

cosθ

2

．
由 0≤θ≤

π

2

及

3π

2

＜θ＜2π，（只需考虑cosθ＞0的情况）．
当x变化时，f'（x）的符号及f（x）的变化情况如下表：

因此，函数f（x）在 x=

cosθ

2

处取得极小值 f(

cosθ

2

)，且 f(

cosθ

2

)=-

1

4

cos3θ+

1

32

．
要使 f(

cosθ

2

)＜0，必有 -

1

4

cos3θ+

1

32

＜0，
可得

1

2

＜cosθ＜ 1，
所以 0＜θ＜

π

3

或

5π

3

＜θ＜2π
当

π

2

＜θ＜

3π

2

时，
当x变化时，f'（x）的符号及f（x）的变化情况如下表：

当x=0是，函数有极小值

1

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，不满足题意．
所以 0＜θ＜

π

3

或

5π

3

＜θ＜2π
③由②知，函数f（x）在区间（-∞，0）与 (

cosθ

2

，+∞)内都是增函数．
由题设，函数f（x）在（2a-1，a）内是增函数，
则a须满足不等式组

2a-1＜a a≤0

或

2a-1＜a 2a-1≥ 1 2 cosθ

由（II），0＜θ＜

π

3

或

5π

3

＜θ＜2π时，

1

2

＜cosθ＜ 1，
要使不等式 2a-1≥

1

2

cosθ关于参数θ恒成立，必有 2a-1≥

1

2

．
综上，解得a≤0或 a＞1
所以a的取值范围是 （-∞，0]∪（1，+∞）

点评：本小题主要考查运用导数研究函数的单调性及极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力．