Question

6．函数f（x）=ax³+3x²+3x（a≠0）．讨论f（x）的单调性．

Answer 1

分析 求出函数的导数，通过导数为0，利用二次函数的根，通过a的范围讨论f（x）的单调性．

解答 解：函数f（x）=ax³+3x²+3x，
∴f′（x）=3ax²+6x+3，
令f′（x）=0，即3ax²+6x+3=0，则△=36（1-a），
①若a≥1时，则△≤0，f′（x）≥0，∴f（x）在R上是增函数；
②因为a≠0，∴当a≤1，△＞0，f′（x）=0方程有两个根，x₁=$\frac{-1+\sqrt{1-a}}{a}$，x₂=$\frac{-1-\sqrt{1-a}}{a}$，
当0＜a＜1时，则当x∈（-∞，x₂）或（x₁，+∞）时，f′（x）＞0，故函数在（-∞，x₂）或（x₁，+∞）是增函数；在（x₂，x₁）是减函数；
当a＜0时，则当x∈（-∞，x₁）或（x₂，+∞），f′（x）＜0，故函数在（-∞，x₁）或（x₂，+∞）是减函数；在（x₁，x₂）是增函数．

点评 本题考查函数的导数的应用，判断函数的单调性以及分类讨论思想的应用．