Question

已知函数f(x)=a-

1

|x|

（1）求证：函数y=f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（2）若f（x）＜0.25x在（1，+∞）上恒成立，求正数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用函数单调性的定义证明即可
（2）f（x）＜0.25x在（1，+∞）上恒成立，即为即a-

1

x

＜

x

4

，移向得出a＜

1

x

+

x

4

令g（x）=

1

x

+

x

4

，x∈（1，+∞）．只需a＜g（x）min即可．

解答：解：（1）设0＜x₁＜x₂，则f（x₁）-f（x₂）=（a-

1

x1

）-（a-

1

x2

）=

1

x2

-

1

x1

=

x1-x2

x1x2

，
∵0＜x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，0＜x₁x₂，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，f（x₁）＜f（x₂）
函数y=f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（2）f（x）＜0.25x在（1，+∞）上恒成立，即a-

1

x

＜

x

4

，移项得出a＜

1

x

+

x

4

，
令g（x）=

1

x

+

x

4

，x∈（1，+∞）．只需a＜g（x）min即可．
由于g（x）=

1

x

+

x

4

≥2

1 x × x 4

=1，当且仅当

1

x

=

x

4

，x=2时取等号．
所以正数a的取值范围是a＜1

点评：本题主要考查函数单调性，基本不等式求最值的基础知识，考查划归与转化，以及抽象概括、推理论证和运算求解能力．