(理科)已知点H(-3,0),点P在y轴上,点Q在x轴的正半轴上,点M在直线PQ上,且满足,.
(Ⅰ)当点P在y轴上移动时,求点M的轨迹C;
(Ⅱ)过定点D(m,0)(m>0)作直线l交轨迹C于A、B两点,E是D点关于坐标原点的对称点,求证:∠AED=∠BED;
(Ⅲ)在(Ⅱ)中,是否存在垂直于x轴的直线被以AD为直径的圆截得的弦长恒为定值?若存在求出的方程;若不存在,请说明理由.
解:(Ⅰ)设
且
………………………………4分 ∴动点M的轨迹C是以O(0,0)为顶点,以(1,0)为焦点的抛物线(除去原点)…………………………………………5分 (Ⅱ)解:依题意,设直线的方程为, ,则A,B两点的坐标满足 方程组消去并整理得: …………………………………7分 设直线AE和BE的斜率分别为,则 = …………………9分
,.……………………10分 (Ⅲ)假设存在满足条件的直线,其方程为,AD的中点为,与AD为直径的圆相交于点F、G,FG的中点为H,则,点的坐标为.
…………………………………12分
令,得,此时, ∴当,即时,(定值) ∴当时,满足条件的直线存在,其方程为;当时,满足条件的直线不存在.………………………………………………14分 |
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