Question

如图（图1）等腰梯形PBCD，A为PD上一点，且AB⊥PD，AB=BC，AD=2BC，沿着AB折叠使得二面角P-AB-D为60°的二面角，连接PC、PD，在AD上取一点E使得3AE=ED，连接PE得到如图（图2）的一个几何体．
（Ⅰ）求证：平面PAB⊥平面PCD；
（Ⅱ）设PA=2，求点E到平面PBC的距离．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由AB⊥PA，AB⊥AD，二面角P-AB-D为60°，得AP⊥PD．由此能够证明平面PAB⊥平面PCD．
（Ⅱ）设E到平面PBC的距离为h，由AE∥平面PBC，知A到平面PBC的距离亦为h，再由等积法能够求出点E到平面PBC的距离h．

解答：解：（Ⅰ）证明：∵AB⊥PA，AB⊥AD，又二面角P-AB-D为60°，
∴∠PAD=60°，又AD=2PA，∴AP⊥PD．
∵AB⊥平面APD，又PD?平面APD，∴AB⊥PD，
∵AP，AB?平面ABP，且AP∩AB=A，
∴PD⊥平面PAB，又PD?平面PCD，
∴平面PAB⊥平面PCD．…（6分）
（Ⅱ）设E到平面PBC的距离为h，
∵AE∥平面PBC，
∴A 到平面PBC的距离亦为h，
连接AC，则V_P-ABC=V_A-PBC，
∴

1

3

×

1

2

×2×2×

3

=

1

3

×

1

2

×2×

7

×h，
解得h=

2 21

7

．…（12分）

点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法．解题时要认真审题，注意等积法和等价转化思想的合理运用．