Question

8．已知曲线r的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=\sqrt{3}sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数）；以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2ρsin（θ-$\frac{π}{6}$）=9．
（I）求曲线Γ的普通方程以及直线l的直角坐标方程：
（Ⅱ）设l′：x-y-1=0与x轴的交点为A，P为曲线Γ上的点，记P到直线l的距离为d，若|AP|=d，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （I）由曲线Γ的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=\sqrt{3}sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），利用cos²θ+sin²θ=1即可得出曲线Γ的普通方程．直线l的极坐标方程为2ρsin（θ-$\frac{π}{6}$）=9，展开为：$2ρ（\frac{\sqrt{3}}{2}sinθ-\frac{1}{2}cosθ）$=9，利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$可得直角坐标方程．
（II）设l′：x-y-1=0与x轴的交点为A（1，0），设P（x，y），由题意可得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\\{\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}=\frac{|x-\sqrt{3}y+9|}{2}}\end{array}\right.$，又$\frac{d}{4-x}$=$\frac{1}{2}$，可得d=$2-\frac{1}{2}x$=$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}$=$\frac{|x-\sqrt{3}y+9|}{2}$，化简解出即可．

解答 解：（I）由曲线Γ的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=\sqrt{3}sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），可得曲线Γ的普通方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
直线l的极坐标方程为2ρsin（θ-$\frac{π}{6}$）=9，展开为：$2ρ（\frac{\sqrt{3}}{2}sinθ-\frac{1}{2}cosθ）$=9，可得直角坐标方程：$\sqrt{3}$y-x-9=0．
（II）设l′：x-y-1=0与x轴的交点为A（1，0），
设P（x，y），
由题意可得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\\{\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}=\frac{|x-\sqrt{3}y+9|}{2}}\end{array}\right.$，又$\frac{d}{4-x}$=$\frac{1}{2}$，可得d=$2-\frac{1}{2}x$=$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}$=$\frac{|x-\sqrt{3}y+9|}{2}$，化为4-x=x-$\sqrt{3}$y+9，即2x=$\sqrt{3}$y-5．
代入3x²+4y²=12，解得P$（-\frac{8}{5}，\frac{3\sqrt{3}}{5}）$．

点评 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．