Question

（（本小题满分14分）

给定椭圆：  ，称圆心在坐标原点，半径为的圆是椭圆的“伴随圆”． 已知椭圆的两个焦点分别是，椭圆上一动点满足．

（Ⅰ）求椭圆及其“伴随圆”的方程

（Ⅱ）试探究y轴上是否存在点(0, )，使得过点作直线与椭圆只有一个交点，且截椭圆的“伴随圆”所得的弦长为．若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由。

 

Answer 1

【答案】

解：（1）由题意得：得，半焦距           …… 2分

则椭圆的方程为                        ．．．．3分

“伴随圆”的方程为                            ．．．．5分

（2）假设y轴上存在点(0, )，

则设过点且与椭圆有一个交点的直线为：，          …… 1分

则　　整理得   ．．．．．．．3分

所以，解 ①   ．．．．5分

又因为直线截椭圆的“伴随圆”所得的弦长为，

则有   化简得   ② ．．．．7分

联立①②解得，，所以

所以y轴上存在点(0, )                                       ．．．．9分

 

【解析】略