Question

已知抛物线y²=2px（p＞0）和四个点A、B、C、D，其中A在抛物线上，B（b，0），C（0，c）（c≠0），且直线AC交X轴于D点
（1）若p=2，b=-8，且D为AC中点，求证：AC⊥BC
（2）若p=2，b=1，且AC⊥BC，判断A，C，D三点的位置关系，并说明理由．
（3）对（1）（2）两个问题的探究过程中，涉及到以下三个条件：
①AC⊥BC；  ②点A、C、D的位置关系； ③点B的坐标．
对抛物线y²=2px（p＞0），请以其中的两个条件做前提，一个做结论，写出三个真命题，（不必证明）．

Answer 1

【答案】分析：（1）结合抛物线的方程可设，由D为AC的中点可知
要证明AC⊥BC?即可
（2）由题意可设由AC⊥BC，可得，代入可求，从而可得C是AD的中点
（3）真命题共有8种情况：①②⇒③共3种情况；①③⇒②共2种情况；②③⇒①共3种情况
解答：解：（1）由题意可设，…（1分）
?D为AC中点，∴…（4分）
又∵∴AC⊥BC…（6分）
（2）由题意可设，…（7分）
∵AC⊥BC，∴（10分）
即，C是A，D的中点．…（12分）
（3）真命题共有8种情况：每个（2分）
①②⇒③共3种情况：
（i）若AC⊥BC，C为A，D的中点，则
（ii）若AC⊥BC，D为A，C中点，则B（-4p，0）
（iii）若AC⊥BC，A是C，D中点，则B（-4p，0）
①③⇒②共2种情况：
（i）若AC⊥BC，，则C为A，D的中点
（ii）若AC⊥BC，B（-4p，0），则D为A，C中点或A是C，D中点
②③⇒①共3种情况：
（i）若C为A，D的中点，，则AC⊥BC
（ii）若D为A，C中点，B（-4p，0），则AC⊥BC
（iii）若A是C，D中点，B（-4p，0），则AC⊥BC
点评：本题主要考查了抛物线的方程的应用，直线垂直与向量垂直的相互转化的应用，利用抛物线方程y²=2px（p＞0）的特点设出抛物线上点的坐标是一种常用的设法