Question

曲线C的参数方程为

x=2cosθ y=3sinθ

直线l：

x=2+t y=2-2t

（t为参数）．
（Ⅰ）写出曲线C与直线l的普通方程；
（Ⅱ）过曲线C上任一点P作与l夹角为60°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．

Answer 1

考点：参数方程化成普通方程

专题：直线与圆,坐标系和参数方程

分析：本题（Ⅰ）消去参数，可得到曲线C与直线l的普通方程，得到本题结论；（Ⅱ）将直线平移后得到直线m，当直线m与曲线C相切时，求出公共点P坐标，从而得到|PA|的最大值与最小值，得到本题结论．

解答： 解：（Ⅰ）∵曲线C的参数方程为

x=2cosθ y=3sinθ

，
∴

cosθ= x 2 sinθ= y 3

，
∵cos²θ+sin²θ=1，
∴

x2

4

+

y2

9

=1．
∵直线l：

x=2+t y=2-2t

（t为参数），
∴t=x-2，
∴y=2-2（x-2），
即y=-2x+6．
∴曲线C与直线l的普通方程分别为：

x2

4

+

y2

9

=1，y=-2x+6．
（Ⅱ）将直线l平移得到直线m：y=-2x+b．
当直线m与曲线C相切时，
由

x2 4 + y2 9 =1 y=-2x+b

得到：
25x²-16bx+4b²-36=0，
∴△=（-16b）²-4×25×（4b²-36）=0，
∴b=±5．
①当b=5时，x=

8

5

，y=

9

5

，切点P（

8

5

，

9

5

），
P到直线l：2x+y-6=0的距离为：d=

|2× 8 5 + 9 5 -6|

22+12

=

5

5

，
过点P作与l夹角为60°的直线，交l于点A，|PA|=

d

sin60°

=

2 15

15

；
②当b=-5时，x=-

8

5

，y=-

9

5

，点P（-

8

5

，-

9

5

），
P到直线l：2x+y-6=0的距离为：d=

|2×(- 8 5 )+(- 9 5 )-6|

22+12

=

11 5

5

，
过点P作与l夹角为60°的直线，交l于点A，|PA|=

d

sin60°

=

22 15

15

．
∴|PA|的最大值与最小值分别为

22 15

15

，

2 15

15

．

点评：本题考查了代入法消参数和公式法消参数，还考查了直线与圆锥曲线的位置关系、点到直线的距离，本题难度适中，属于中档题．