Question

(本小题满分14分)

设曲线：，表示的导函数。

（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；

（Ⅱ）求函数的极值；

（Ⅲ）当时，对于曲线上的不同两点，是否存在

唯一，使直线的斜率等于？并证明你的结论。

Answer 1

解：（Ⅰ）的定义域为

，令，得，       ………………2分

当时，，所以递增；

当时，，所以递减。

所以，函数的单调增区间为，减区间为    ………………4分

（Ⅱ）的定义域为

，令得

当时，在上恒成立    

即在单调递减，故无极值                 ………………6分

当时，由得，

由得，

在区间单调递增，在区间单调递减

故时有极大值，无极小值  ………………8分

（Ⅲ）存在唯一，使直线的斜率等于。

证明如下：

的斜率

                           ………10分

设函数，

则。

设函数，则，

∴在上递减，∴，即，

∵，∴，∴，∴，   …………………11分

同理可证，∴在区间内有零点    …………………………12分

又∵，∴在区间内是增函数

∴在区间内有唯一的零点，

故存在唯一，使直线的斜率等于。          ………………14分