Question

已知与曲线C：x²+y²-2x-2y+1=0相切的直线l分别交x、y轴于A、B两点，O为原点，|OA|=a，|OB|=b（a＞2，b＞2）．
（1）求证：若曲线C与直线l相切，则有（a-2）（b-2）=2；
（2）求线段AB中点的轨迹方程；
（3）求△AOB面积的最小值．

Answer 1

分析：（1）由已知圆C：x²+y²-2x-2y+1=0，直线交x轴、y轴于A、B两点|OA|=a，|OB|=b，我们可以分别求出直线的一般方程，和圆的标准方程，然后根据直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径得到结论；
（2）设线段AB的中点M（x，y），代入（1）的结论，整理后，即可得到答案；
（3）S△AOB=

1

2

|ab|，结合（1）的结论，及均值不等式，即可得到答案．

解答：解：（1）由题意知A（a，0），B（0，b），∴直线l方程为

x

a

+

y

b

=1，即bx+ay-ab=0
曲线C表示一个圆，圆心C（1，1），半径r=1…（2分）∵直线与圆相切，∴

|a+b-ab|

a2+b2

=1，…（4分）
两边平方整理得ab+2-2a-2b=0，即（a-2）（b-2）=2…（5分）
（2）设线段AB中点为M（x，y），由中点坐标公式得x=

a

2

＞1，y=

b

2

＞1，即…（7分）a=2x，b=2y，代入（a-2）（b-2）=2得（2x-2）（2y-2）=2…（8分）
整理得AB中点M的轨迹方程为(x-1)(y-1)=

1

2

(x＞1，y＞1)…（9分）
（3）S△AOB=

1

2

ab=

1

2

[-2+2(a+b)]=-1+a+b=（a-2）+（b-2）+3≥3+2

(a-2)•(b-2)

=3+2

2

…（11分）（当且仅当a-2=b-2，又（a-2）（b-2）=2，即a=b=2+

2

时取得等号）…（12分）
故△AOB面积的最小值为3+2

2

…（13分）

点评：本题考查的知识点是直线和圆的方程的应用，轨迹方程，直线与圆的位置关系，考查的解题方法为坐标法，难度中等．