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设椭圆ax2+by2=1与直线x+y-1=0相交于A、B两点,点C是AB的中点,若|AB|=2,OC的斜率为,求椭圆的方程.
【答案】分析:先根据题意设A(x1,y1),B(x2,y2),那么A、B的坐标是方程组的解.两式相减,得出b与a的关系,再由方程组消去y得到关于x的一元二次方程,再结合根系数的关系利用弦长公式即可求得a,b值,从而求得椭圆的方程.
解答:解:设A(x1,y1),B(x2,y2),那么A、B的坐标是方程组的解.
由ax+by=1,ax+by=1,两式相减,得
a(x1+x2)(x1-x2)+b(y1+y2)(y1-y2)=0,
因为=-1,
所以=
===,所以b=a①
再由方程组消去y得(a+b)x2-2bx+b-1=0,
由|AB|===
=2
得(x1+x22-4x1x2=4,即(2-4•=4.②
由①②解得a=,b=
故所求的椭圆的方程为+=1.
点评:本题是典型的求圆锥曲线方程的问题,将A、B两点坐标代入圆锥曲线方程,两式相减得关于直线AB斜率的等式,再利用对称点所连线段被对称轴垂直平分来列式求解.
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2
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2
2
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