Question

【题目】已知椭圆()的焦距为2，椭圆的左右焦点分别为，过右焦点作轴的垂线交椭圆于两点，.

（1）求椭圆的方程；

（2）过右焦点作直线交椭圆于两点，若△的内切圆的面积为，求△的面积；

（3）已知，为圆上一点(在轴右侧)，过作圆的切线交椭圆于两点，试问△的周长是否为一定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）是，.

【解析】

（1）由题意结合椭圆的性质可得，再由点即可求得、，即可得解；

（2）由题意结合椭圆的性质可得△的周长，再由（为内切圆半径）即可得解；

（3）按照斜率是否存在讨论，当直线斜率存在时，设，，由两点之间距离公式、椭圆性质可得焦半径、，联立方程结合韦达定理、弦长公式可得，再由直线与圆相切可得，代入运算即可得解.

（1）由椭圆焦距为2可得，，

又过右焦点作轴的垂线交椭圆于、两点，，

不妨设点，则，解得，，

所以椭圆的方程为；

（2）由题意△的周长，

又△的内切圆的面积为，所以△的内切圆的半径为，

所以△的面积；

（3）由题意，圆心为，半径为，

若斜率不存在时，不妨设点，

此时△的周长；

当直线斜率存在时，设，，

则即，

则，

同理，，

由消去y得，，

则，

由直线与相切可得，即，

所以

，

因为在轴右侧，所以，

所以

，

所以△的周长

；

综上，△的周长为一定值，且周长.