Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：y=x-3．设圆C的半径为1，圆心在l上．
（1）若圆心C也在直线y=2x-4上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；
（2）若圆C上存在点M，使MA=2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先求出圆心坐标，可得圆的方程，再设出切线方程，利用点到直线的距离公式，即可求得切线方程；
（2）设出点C，M的坐标，利用MA=2MO，寻找坐标之间的关系，进一步将问题转化为圆与圆的位置关系，即可得出结论．

解答：解：（1）由题设，圆心C在y=x-3上，也在直线y=2x-4上，2a-4=a-3，∴a=1，∴C（1，-2）．
∴⊙C：（x-1）²+（y+2）²=1，
由题，当斜率存在时，过A点切线方程可设为y=kx+3，即kx-y+3=0，则

|k+5|

1+k2

=1，解得：k=-

12

5

，…（4分）
又当斜率不存在时，也与圆相切，∴所求切线为x=0或y=-

12

5

x+3，
即x=0或12x+5y-15=0…（6分）
（2）设点C（a，a-3），M（x₀，y₀），则
∵MA=2MO，A（0，3），O（0，0），
∴x02+(y0-3)2=4(x02+y02)，即x02+y02=3-2y0，
又点M在圆C上，∴(x0-a)2+(y0-a+3)2=1，
∴M点为x02+y02=3-2y0与(x0-a)2+(y0-a+3)2=1的交点，…（9分）
若存在这样的点M，则x02+y02=3-2y0与(x0-a)2+(y0-a+3)2=1有交点，
即圆心之间的距离d满足：1≤d≤3，∴1≤

a2+(a-4)2

≤3，即1≤2a²-8a+16≤9，
解得：

4- 2

2

≤a≤

4+ 2

2

…（14分）

点评：本题考查直线与圆的位置关系，考查圆与圆的位置关系，考查学生的计算能力，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．