Question

已知函数．（I）当时，求函数的单调区间；（II）若函数的图象在点处的切线的倾斜角为45^o，问：m在什么范围取值时，对于任意的，函数在区间上总存在极值？

Answer 1

（1）在（0，1）上单调递增；在（1，+∞）上单调递减． （2）

本试题主要考查了导数在研究函数中的运用。通过a的值可知，函数解析式，求解导数，然后令导数大于零和导数小于零，得到单调区间。并利用导数的几何意义得到切线的斜率等的运用。、
（1）直接求解导数，然后解导数的不等式得到单调增减区间。
（2）利用对于任意的，函数y=g(x)在区间上总存在极值，转化为
在x=2,x=3处的导数值分别为小于零和大于零得到参数m的取值范围。
解：   
（I）当时，，        …………………………………2分
令时，解得，所以在（0，1）上单调递增； ……4分
令时，解得，所以在（1，+∞）上单调递减． ………6分
（II）因为函数的图象在点（2，）处的切线的倾斜角为45^o，
所以．
所以，． ………………………………………………8分
 ，
，     ……………………………………………10分
因为任意的，函数在区间上总存在极值，
所以只需      ……………………………………………………12分
解得．