Question

（2013•盐城一模）对于定义在区间D上的函数f（x），若任给x₀∈D，均有f（x₀）∈D，则称函数f（x）在区间D上封闭．
（1）试判断f（x）=x-1在区间[-2.1]上是否封闭，并说明理由；
（1）若函数g（x）=

3x+a

x+1

在区间[3，10]上封闭，求实数a的取值范围；
（1）若函数h（x）=x³-3x在区间[a，b[（a，b∈Z）上封闭，求a，b的值．

Answer 1

分析：（1）由函数f（x）=x-1在区间[-2，1]上是增函数求出在[-2，1]上的值域，不满足在区间上封闭的概念；
（2）把给出的函数g（x）=

3x+a

x+1

变形为3+

a-3

x+1

，分a=3，a＞3，a＜3三种情况进行讨论，利用函数在区间[3，10]上封闭列式求出a的取值范围；
（3）求出函数h（x）=x³-3x的导函数，得到三个不同的单调区间，然后对a，b的取值分类进行求解．

解答：解：（1）f（x）=x-1在区间[-2，1]上单调递增，所以f（x）的值域为[-3，0]
而[-3，0]?[-2，1]，所以f（x）在区间[-2，1]上不是封闭的；
（2）因为g（x）=

3x+a

x+1

=3+

a-3

x+1

，
①当a=3时，函数g（x）的值域为{3}⊆[3，10]，适合题意．
②当a＞3时，函数g（x）=3+

a-3

x+1

在区间[3，10]上单调递减，故它的值域为[

30+a

11

，

9+a

4

]，
由[

30+a

11

，

9+a

4

]⊆[3，10]，得

30+a 11 ≥3 9+a 4 ≤10

，解得3≤a≤31，故3＜a≤31．
③当a＜3时，在区间[3，10]上有g(x)=

3x+a

x+1

=3+

a-3

x+1

＜3，显然不合题意．
综上所述，实数a的取值范围是3≤a≤31；
（3）因为h（x）=x³-3x，所以h^′（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1），
当x∈（-∞，-1）时，h^′（x）＞0，当x∈（-1，1）时，h^′（x）0．
所以h（x）在（-∞，-1）上单调递增，在（-1，1）上递减，在（1，+∞）上递增．
①当a＜b≤-1时，h（x）在区间[a，b]上递增，所以

h(a)≥a h(b)≤b

，
即

a3-3a≥a b3-3b≤b

，解得-2≤a≤0或a≥2，b≤-2或0≤b≤2，又a＜b≤-1，此时无解．
②当a≤-1且-1＜b≤1时，因h（x）_max=h（-1）=2＞b，矛盾，不合题意
③当a≤-1且b＞1时，因为h（-1）=2，h（1）=-2都在函数的值域内，故a≤-2，b≥2，
又

a≤h(a) b≥h(b)

，得

a≤a3-3a b≥b3-3b

，解得-2≤a≤0或a≥2，b≤-2或0≤b≤2，从而a=-2，b=2．
④当-1≤a＜b≤1时，h（x）在区间[a，b]上递减，

h(b)≥a h(a)≤b

，即

b3-3b≥a a3-3a≤b

（*）
而a，b∈Z，经检验，满足-1≤a＜b≤1的整数组a，b均不合（*）式．
⑤当-1＜a＜1且b≥1时，因h（x）_min=h（1）=-2＜a，矛盾，不合题意．
⑥当b＞a≥1时，h（x）在区间[a，b]上递增，所以

h(a)≥a h(b)≤b

，
即

a3-3a≥a b3-3b≤b

，解得-2≤a≤0或a≥2，b≤-2或0≤b≤2，又b＞a≥1，此时无解．
综上所述，所求整数a，b的值为a=-2，b=2．

点评：本题是新定义题，考查了利用导数求闭区间上的最值，考查了分类讨论得数学思想方法，解答此题的关键是正确分类，因该题需要较细致的分类，对学生来说是有一定难度的题目．