Question

定义在R上的函数f(x)=

1

3

ax3+bx2+cx+2同时满足以下条件：
①f（x）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数；
②f′（x）是偶函数；
③f（x）在x=0处的切线与直线y=x+2垂直．
（Ⅰ）求函数y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）设g（x）=[

1

3

x³-f（x）]•e^x，求函数g（x）在[m，m+1]上的最小值．

Answer 1

（Ⅰ）求导函数，可得f′（x）=ax²+2bx+c…（1分）
由题意知

f′(1)=0 f′(0)=-1 2b=0

，即

a+2b+c=0 c=-1 b=0

解得

a=1 b=0 c=-1

．…（4分）
所以函数y=f（x）的解析式为f(x)=

1

3

x3-x+2．…（5分）
（Ⅱ）g(x)=(

1

3

x3-f(x))ex=（x-2）e^x，∴g′（x）=（x-1）e^x．
令g′（x）=0得x=1，所以函数g（x）在（-∞，1）递减，在（1，+∞）递增..…（7分）
当m≥1时，g（x）在[m，m+1]单调递增，y_min=g（m）=（m-2）e^m…（9分）
当m＜1＜m+1，即0＜m＜1时，g（x）在[m，1]单调递减，在[1，m+1]单调递增，y_min=g（1）=-e..…（10分）
当m+1≤1，即m≤0时，g（x）在[m，m+1]单调递减，y_min=g（m+1）=（m-1）e^m+1．…．（12分）
综上，g（x）在[m，m+1]上的最小值y_min=

(m-2)em，m≥1 -e，0＜m＜1 (m-1)em+1，m≤0

．…（13分）